$f\frac{dx}{x\ln x}$ =?

বিস্তারিত সমাধান:

প্রদত্ত ইন্টিগ্রেশনটি হলো: \( \int \frac{dx}{x \ln x} \)

এই ইন্টিগ্রেশনটি প্রতিস্থাপন (substitution) পদ্ধতির মাধ্যমে সমাধান করা যেতে পারে।

    
1. আমরা প্রতিস্থাপন করি \( u = \ln x \)।
    
2. এখন, \( u \) কে \( x \)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ (differentiate) করি:         
           \( \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(\ln x) \)         
           \( \frac{du}{dx} = \frac{1}{x} \)         
           সুতরাং, \( du = \frac{1}{x} dx \)     
    
3. এখন, মূল ইন্টিগ্রেশনটিকে \( u \) এবং \( du \) এর মাধ্যমে পুনরায় লিখি:         
           \( \int \frac{dx}{x \ln x} = \int \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} dx \)         
           \( = \int \frac{1}{u} du \)     
    
4. এখন \( u \)-এর সাপেক্ষে ইন্টিগ্রেশন করি:         
           \( \int \frac{1}{u} du = \ln|u| + C \) (যেখানে \( C \) হলো সমাকলন ধ্রুবক)     
    
5. সবশেষে, \( u = \ln x \) প্রতিস্থাপনটি ফেরত দিই:         
           \( = \ln|\ln x| + C \)     

যেহেতু, প্রদত্ত অপশনগুলোতে পরম মান (absolute value) চিহ্ন নেই এবং স্বাভাবিকভাবে \( \ln x \) এর ডোমেইনের জন্য \( x > 0 \) এবং \( \ln(\ln x) \) এর ডোমেইনের জন্য \( \ln x > 0 \implies x > 1 \) প্রযোজ্য, তাই \( \ln x \) ধনাত্মক ধরে \( |\ln x| = \ln x \) লেখা যায়।

সুতরাং, সঠিক উত্তরটি হলো \( \ln(\ln x) \)।

অন্যান্য অপশনগুলোর বিশ্লেষণ:

    
• 2. \( \ln x \): এটি \( \int \frac{1}{x} dx \) এর ফলাফল। আমাদের ইন্টিগ্রেশন এর সাথে এটি মিলে না।
    
• 3. \( \frac{1}{\ln x} \): এটি ইন্টিগ্রেশনের একটি অংশ, কিন্তু ইন্টিগ্রেশনের ফলাফল নয়।
    
• 4. \( \ln(x^2) \): এটি \( 2 \ln x \) এর সমান। এটিও প্রদত্ত ইন্টিগ্রেশনের সঠিক ফলাফল নয়।