Find an equation for the line with x - intercept = 2, Y - intercept = -1.

একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয়ের জন্য বিভিন্ন পদ্ধতি আছে, যেমন— ঢাল-ছেদক রূপ (slope-intercept form), বিন্দু-ঢাল রূপ (point-slope form), দুই-বিন্দু রূপ (two-point form) এবং ছেদক রূপ (intercept form)। এখানে, x-intercept এবং y-intercept দেওয়া আছে, তাই ছেদক রূপ ব্যবহার করা সবচেয়ে সহজ।

ছেদক রূপের সূত্রটি হলো: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\)

যেখানে,

    
• \(a\) হলো x-intercept
    
• \(b\) হলো y-intercept

প্রদত্ত তথ্য অনুযায়ী:

    
• x-intercept, \(a = 2\)
    
• y-intercept, \(b = -1\)

এখন, এই মানগুলি সূত্রে বসিয়ে পাই:

\(\frac{x}{2} + \frac{y}{-1} = 1\)

\(\frac{x}{2} - y = 1\)

সমীকরণটিকে ভগ্নাংশমুক্ত করার জন্য উভয় পক্ষকে 2 দিয়ে গুণ করি:

\(2 \times \left(\frac{x}{2} - y\right) = 2 \times 1\)

\(x - 2y = 2\)

একটি সরলরেখার ঢাল-ছেদক রূপ হলো \(y = mx + c\), যেখানে \(m\) হলো ঢাল এবং \(c\) হলো y-intercept।

দেওয়া আছে, y-intercept, \(c = -1\)।

সুতরাং, সমীকরণটি দাঁড়ায়: \(y = mx - 1\)

সরলরেখাটি x-intercept 2 হওয়ায় \((2, 0)\) বিন্দুগামী। এই বিন্দুটি সমীকরণে বসিয়ে ঢাল \(m\) বের করি:

\(0 = m(2) - 1\)

\(0 = 2m - 1\)

\(2m = 1\)

\(m = \frac{1}{2}\)

এখন \(m\) এর মান \(\frac{1}{2}\) এবং \(c\) এর মান \(-1\) বসিয়ে পাই:

\(y = \frac{1}{2}x - 1\)

উভয় পক্ষকে 2 দিয়ে গুণ করে পাই:

\(2y = x - 2\)

বা,

\(x - 2y = 2\)

যেহেতু সরলরেখার x-intercept 2, এর অর্থ হলো সরলরেখাটি \((2, 0)\) বিন্দুগামী। এবং y-intercept -1, এর অর্থ হলো সরলরেখাটি \((0, -1)\) বিন্দুগামী। আমরা অপশনগুলোতে এই বিন্দুগুলো বসিয়ে সঠিক সমীকরণটি খুঁজে নিতে পারি।

    
• অপশন 1: \(2x - y = 1\)
    
        
• \((2, 0)\) বসালে: \(2(2) - 0 = 4 \neq 1\) (বেঠিক)
    
    
• অপশন 2: \(x - 2y = 2\)
    
        
• \((2, 0)\) বসালে: \(2 - 2(0) = 2 - 0 = 2\) (সঠিক)
        
• \((0, -1)\) বসালে: \(0 - 2(-1) = 0 + 2 = 2\) (সঠিক)
    

যেহেতু অপশন 2 এর সমীকরণটি উভয় বিন্দুকে সিদ্ধ করে, এটিই সঠিক উত্তর। অন্যান্য অপশনগুলো যাচাই করার প্রয়োজন নেই, কারণ আমরা একটি সঠিক অপশন পেয়ে গেছি।