$f\left(x\right)=\sqrt{2-\sqrt{2-x}}$ এর ডোমেইন হলো- ( The domain of $f\left(x\right)=\sqrt{2-\sqrt{2-x}}$ is-)

ফাংশনের ডোমেইন (domain) নির্ণয় করার জন্য, বর্গমূলের (square root) ভেতরের রাশিমালাগুলো অঋণাত্মক (non-negative) হতে হবে। প্রদত্ত ফাংশনটি হলো:

\(f(x) = \sqrt{2 - \sqrt{2 - x}}\)

এখানে দুটি বর্গমূল রয়েছে।

প্রথমত, ভেতরের বর্গমূলের জন্য:

\(\sqrt{2 - x}\)

এর ভেতরের রাশি \((2 - x)\) অবশ্যই অঋণাত্মক হতে হবে।

\(2 - x \ge 0\)

\(2 \ge x\)

অর্থাৎ, \(x \le 2\)

দ্বিতীয়ত, বাইরের বর্গমূলের জন্য:

\(\sqrt{2 - \sqrt{2 - x}}\)

এর ভেতরের রাশি \((2 - \sqrt{2 - x})\) অবশ্যই অঋণাত্মক হতে হবে।

\(2 - \sqrt{2 - x} \ge 0\)

\(2 \ge \sqrt{2 - x}\)

যেহেতু উভয় পক্ষই অঋণাত্মক, তাই উভয় পক্ষকে বর্গ করা যায়:

\(2^2 \ge (\sqrt{2 - x})^2\)

\(4 \ge 2 - x\)

\(4 - 2 \ge -x\)

\(2 \ge -x\)

উভয় পক্ষকে \(-1\) দ্বারা গুণ করলে অসমতার চিহ্ন (inequality sign) পরিবর্তিত হবে:

\(-2 \le x\)

এখন, আমরা দুটি শর্ত পেয়েছি:

    
1. \(x \le 2\)
    
2. \(x \ge -2\)

এই দুটি শর্তকে একত্রিত করলে পাওয়া যায়:

\(-2 \le x \le 2\)

ডোমেইনকে ব্যবধি (interval) আকারে প্রকাশ করলে হয়:

\([-2, 2]\)

অতএব, ফাংশনটির ডোমেইন হলো \([-2, 2]\)