Half of the people on a bus get off at each stop after the first, and no one gets on after the first stop . If only one person gets off at number 7, how many people got on at the first stop?

বিস্তারিত সমাধান:

ধরা যাক, প্রথম স্টপে যতজন যাত্রী বাসে উঠেছিলেন এবং প্রথম স্টপের পর বাসে ছিলেন, সেই সংখ্যাটি হলো \(P\) (কারণ প্রথম স্টপের পর আর কোনো যাত্রী ওঠেনি)।

    
• ২য় স্টপে মোট যাত্রীর অর্ধেক নেমে যায়। সুতরাং, ২য় স্টপে নেমে যাওয়া যাত্রীর সংখ্যা = \(P/2\)।
    
• ৩য় স্টপে অবশিষ্ট যাত্রীর অর্ধেক নেমে যায়। ২য় স্টপের পর অবশিষ্ট যাত্রী ছিল \(P/2\)। সুতরাং, ৩য় স্টপে নেমে যাওয়া যাত্রীর সংখ্যা = \(\frac{P/2}{2} = P/4\)।
    
• ৪র্থ স্টপে নেমে যাওয়া যাত্রীর সংখ্যা = \(\frac{P/4}{2} = P/8\)।

এই প্যাটার্ন (pattern) অনুযায়ী, \(n\) তম স্টপে নেমে যাওয়া যাত্রীর সংখ্যা হবে \(\frac{P}{2^{(n-1)}}\)।

প্রশ্নানুযায়ী, ৭ম স্টপে (stop number 7) ১ জন যাত্রী নেমে যায়। এখানে \(n = 7\)।

সুতরাং, আমরা লিখতে পারি:

\(\frac{P}{2^{(7-1)}} = 1\)

\(\frac{P}{2^6} = 1\)

\(\frac{P}{64} = 1\)

\(P = 64\)

যেহেতু প্রথম স্টপের পর আর কোনো যাত্রী বাসে ওঠেনি, তাই প্রথম স্টপে ওঠা যাত্রীর সংখ্যাই হলো \(P\)।

সুতরাং, প্রথম স্টপে মোট ৬৪ জন যাত্রী বাসে উঠেছিল।

💡 শর্টকাট টেকনিক (পেছন থেকে গণনা):

আমরা জানি যে, ৭ম স্টপে ১ জন যাত্রী নেমেছে। যেহেতু প্রতিটি স্টপে (প্রথম স্টপের পর) বাসের অর্ধেক যাত্রী নেমে যায়, তাহলে ৭ম স্টপে নামার আগে বাসে মোট কতজন যাত্রী ছিল তা নির্ণয় করা যায়।

    
• ৭ম স্টপে ১ জন নেমেছে। এর অর্থ, ৬ষ্ঠ স্টপের পর (বা ৭ম স্টপের ঠিক আগে) বাসে যাত্রী ছিল \(1 \times 2 = 2\) জন।
    
• ৬ষ্ঠ স্টপে অর্ধেক যাত্রী নেমেছিল। এর অর্থ, ৫ম স্টপের পর (বা ৬ষ্ঠ স্টপের ঠিক আগে) বাসে যাত্রী ছিল \(2 \times 2 = 4\) জন।
    
• ৫ম স্টপের ঠিক আগে বাসে যাত্রী ছিল \(4 \times 2 = 8\) জন।
    
• ৪র্থ স্টপের ঠিক আগে বাসে যাত্রী ছিল \(8 \times 2 = 16\) জন।
    
• ৩য় স্টপের ঠিক আগে বাসে যাত্রী ছিল \(16 \times 2 = 32\) জন।
    
• ২য় স্টপের ঠিক আগে বাসে যাত্রী ছিল \(32 \times 2 = 64\) জন।

২য় স্টপের ঠিক আগে যে সংখ্যক যাত্রী ছিল, সেটিই হলো প্রথম স্টপে ওঠা মোট যাত্রীর সংখ্যা (কারণ প্রথম স্টপের পর আর কোনো যাত্রী ওঠেনি)।

সুতরাং, প্রথম স্টপে ৬৪ জন যাত্রী বাসে উঠেছিল।