How many terms of the arithmetic progression 3,7,11, ______ should be taken to make its sum equals to 820 ?

Created: 10 months ago | Updated: 10 months ago

Updated: 10 months ago

ক

10
খ

15
গ

20
ঘ

25

388

ব্যাখ্যাঃ

একটি পাটিগণিতীয় ধারা (Arithmetic Progression) হলো এমন একটি অনুক্রম, যেখানে পাশাপাশি দুটি পদের পার্থক্য সর্বদা একই থাকে। এই স্থির পার্থক্যকে সাধারণ অন্তর (common difference) বলা হয়।

একটি পাটিগণিতীয় ধারার প্রথম পদ $a$, সাধারণ অন্তর $d$ এবং পদসংখ্যা $n$ হলে, প্রথম $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি ($S_n$) নির্ণয়ের সূত্রটি হলো:

\[ S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d] \]

প্রদত্ত সমস্যা অনুযায়ী:

ধারার প্রথম পদ, $a = 3$
ধারার পদগুলো হলো: 3, 7, 11, ...
সাধারণ অন্তর, $d = 7 - 3 = 4$
পদসমূহের সমষ্টি, $S_n = 820$

আমাদেরকে পদসংখ্যা $n$ নির্ণয় করতে হবে।

বিস্তারিত সমাধান:

উপরোক্ত সূত্রে প্রদত্ত মানগুলো বসিয়ে পাই:

\[ 820 = \frac{n}{2}[2(3) + (n-1)4] \]

\[ 820 = \frac{n}{2}[6 + 4n - 4] \]

\[ 820 = \frac{n}{2}[4n + 2] \]

উভয় পক্ষকে 2 দ্বারা গুণ করে পাই:

\[ 1640 = n(4n + 2) \]

\[ 1640 = 4n^2 + 2n \]

সমীকরণটিকে দ্বিঘাত সমীকরণের আকারে সাজিয়ে পাই:

\[ 4n^2 + 2n - 1640 = 0 \]

সমীকরণটিকে 2 দ্বারা ভাগ করে সরল করে পাই:

\[ 2n^2 + n - 820 = 0 \]

এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ $Ax^2 + Bx + C = 0$ আকারের, যেখানে $A=2$, $B=1$, $C=-820$। দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান সূত্র $n = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A}$ ব্যবহার করে পাই:

\[ n = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(2)(-820)}}{2(2)} \]

\[ n = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 6560}}{4} \]

\[ n = \frac{-1 \pm \sqrt{6561}}{4} \]

আমরা জানি, $\sqrt{6561} = 81$।

\[ n = \frac{-1 \pm 81}{4} \]

$n$ এর দুটি সম্ভাব্য মান:

১. $n = \frac{-1 + 81}{4} = \frac{80}{4} = 20$

২. $n = \frac{-1 - 81}{4} = \frac{-82}{4} = -20.5$

যেহেতু পদের সংখ্যা ঋণাত্মক বা ভগ্নাংশ হতে পারে না, তাই আমরা ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা মানটি গ্রহণ করব।

সুতরাং, পদসংখ্যা $n = 20$।

💡 শর্টকাট টেকনিক (অপশন যাচাই):

প্রদত্ত অপশনগুলো থেকে $n$ এর মান নিয়ে সমষ্টির সূত্রে বসিয়ে সহজেই সঠিক উত্তরটি বের করা যায়।

ধরা যাক, $n = 20$ (অপশন 3)।

প্রথম পদ, $a = 3$

সাধারণ অন্তর, $d = 4$

$S_{20} = \frac{20}{2}[2(3) + (20-1)4]$

$S_{20} = 10[6 + 19 \times 4]$

$S_{20} = 10[6 + 76]$

$S_{20} = 10[82]$

$S_{20} = 820$

যেহেতু $S_{20} = 820$, যা প্রশ্নের দেওয়া সমষ্টির সমান, তাই $n=20$ সঠিক উত্তর।

Satt AI

1 month ago

MCQ: 364 CQ: 51

Practice

সমান্তর ধারা (Arithmetic Progression)

কোনো ধারার যেকোনো পাশাপাশি দুইটি পদের পার্থক্য সব সময় সমান হলে, সেই ধারাটিকে সমান্তর ধারা বলে।

উদাহরণ ১. 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 একটি ধারা। এই ধারাটির প্রথম পদ 1, দ্বিতীয় পদ 3, তৃতীয় পদ 5 ইত্যাদি।

এখানে, দ্বিতীয় পদ - প্রথম পদ = 3 – 1 = 2,

তৃতীয় পদ দ্বিতীয় পদ = 5 – 3 – 2, চতুর্থ পদ তৃতীয় পদ = 7 – 5 = 2,

পঞ্চম পদ চতুর্থ পদ = 9 – 7 = 5, ষষ্ঠ পদ পঞ্চম পদ = 11-9=2

সুতরাং, ধারাটি একটি সমান্তর ধারা।

এই ধারায় প্রাপ্ত দুইটি পদের বিয়োগফলকে সাধারণ অন্তর বলা হয়। উল্লেখিত ধারার সাধারণ অন্তর 2। ধারাটির পদ সংখ্যা নির্দিষ্ট। এ জন্য এটি একটি সসীম বা সান্ত ধারা (Finite Series)। উল্লেখ্য, সমান্তর ধারার পদসংখ্যা নির্দিষ্ট না হলে একে অসীম বা অনন্ত ধারা (Infinite Series) বলে। যেমন, 1 + 4 + 7 + 10 + . . . একটি অসীম ধারা। সমান্তর ধারায় সাধারণত প্রথম পদকে a দ্বারা এবং সাধারণ অন্তরকে d দ্বারা প্রকাশ করা হয়। তাহলে সংজ্ঞানুসারে, প্রথম পদ a হলে, দ্বিতীয় পদ a + d, তৃতীয় পদ a + 2d ইত্যাদি। সুতরাং, ধারাটি হবে, a + (a +d) + (a + 2d) + . . . ।

সমান্তর ধারার সাধারণ পদ নির্ণয়

মনে করি, যেকোনো সমান্তর ধারার প্রথম পদ a ও সাধারণ অন্তর d। তাহলে ধারাটির

প্রথম পদ = a = a + (1 – 1)d

দ্বিতীয় পদ = a + d = a + (2 – 1)d

তৃতীয় পদ = a + 2d = a + (3 – 1)d

চতুর্থ পদ = a + 3d = a + (4 – 1) d

. . . . . .

$∴$ n তম পদ = a + (n - 1) d

এই n তম পদকেই সমান্তর ধারার সাধারণ পদ বলা হয়। কোনো সমান্তর ধারার প্রথম পদ a, সাধারণ অন্তর d জানা থাকলে n তম পদে n 1, 2, 3, 4, . . . বসিয়ে পর্যায়ক্রমে ধারাটির প্রত্যেকটি পদ = নির্ণয় করা যায়।

মনে করি, একটি সমান্তর ধারার প্রথম পদ 3 এবং সাধারণ অন্তর 2। অতএব, ধারাটির n তম পদ = 3 + (n – 1) × 2 = 2n + 1 ।

উদাহরণ ২. 5 + 8 + 11 + 14 + . . . ধারাটির কোন পদ 383 ?

সমাধান : ধারাটির প্রথম পদ a = 5, সাধারণ অন্তর d = 8 – 5 = 11 – 8 = 14 – 11 = 3

$∴$ ইহা একটি সমান্তর ধারা।

মনে করি, ধারাটির n তম পদ = 383

আমরা জানি, n তম পদ = a + (n – 1)d

$∴$ প্রদত্ত ধারার 127 তম পদ = 383 I

সমান্তর ধারার n সংখ্যক পদের সমষ্টি

মনে করি, যেকোনো সমান্তর ধারার প্রথম পদ a, শেষ পদ p, সাধারণ অন্তর d, পদ সংখ্যা n এবং ধারাটির n সংখ্যক পদের সমষ্টি $S_{n}$ ।

ধারাটিকে প্রথম পদ হতে শেষ পদ এবং বিপরীতক্রমে শেষ পদ হতে প্রথম পদ লিখে পাওয়া যায়,

কোনো সমান্তর ধারার প্রথম পদ a, শেষ পদ p এবং পদ সংখ্যা n জানা থাকলে, (3) নং সূত্রের সাহায্যে ধারাটির সমষ্টি নির্ণয় করা যায়। কিন্তু প্রথম পদ a, সাধারণ অন্তর d, পদ সংখ্যা n জানা থাকলে, (4) নং সূত্রের সাহায্যে ধারাটির সমষ্টি নির্ণয় করা যায়।

প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি নির্ণয়

মনে করি, n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি $S_{n}$

ধারাটিকে প্রথম পদ হতে এবং বিপরীতক্রমে শেষ পদ হতে লিখে পাওয়া যায়

উদাহরণ ৩. প্রথম 50 টি স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল নির্ণয় কর।

সমাধান: আমরা (3) নং সূত্র ব্যবহার করে পাই,

$∴$ প্রথম 50 টি স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল 1275 ।

উদাহরণ ৪. 1 + 2 + 3 + 4 + . . . + 99 = কত?

সমাধান : ধারাটির প্রথম পদ a = 1, সাধারণ অন্তর d = 2 – 1 = 1 এবং শেষ পদ p = 99 ।

$∴$ ইহা একটি সমান্তর ধারা।

মনে করি, ধারাটির n তম পদ = 99

আমরা জানি, সমান্তর ধারার n তম পদ = a + (n – 1)d

$∴$ a + (n - 1)d = 99

বা, 1 + (n – 1)1 = 99

বা, 1 + n − 1 = 99

$∴$ n = 99

উদাহরণ ৫. 7 + 12 + 17 + . . . ধারাটির প্রথম 30 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান : ধারাটির প্রথম পদ a = 7, সাধারণ অন্তর d = 12 - 7 = 5

$∴$ ইহা একটি সমান্তর ধারা। এখানে পদ সংখ্যা n = 30

আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি,

উদাহরণ ৬. রশিদ তার বেতন থেকে প্রথম মাসে 1200 টাকা সঞ্চয় করেন এবং পরবর্তী প্রতিমাসে এর পূর্ববর্তী মাসের তুলনায় 100 টাকা বেশি সঞ্চয় করেন।

ক) সমস্যাটিকে n সংখ্যক পদ পর্যন্ত ধারায় প্রকাশ কর।

খ) তিনি 18 তম মাসে কত টাকা এবং প্রথম 18 মাসে মোট কত টাকা সঞ্চয় করেন?

গ) তিনি কত বছরে মোট 106200 টাকা সঞ্চয় করেন?

সমাধান :

ধারার বিভিন্ন সূত্র

প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি নির্ণয়

মনে করি, প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি $S_{n}$ ।

প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি নির্ণয়

মনে করি, প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি $S_{n}$

প্রয়োজনীয় সূত্র

Related Question

View All

log2 + log4 + log8 + ____ ধারাটির সাধারণ অন্তর কত?

Created: 3 days ago | Updated: 3 days ago

Updated: 3 days ago

ক

2
খ

4
গ

log 2
ঘ

2 log 2

BCS 47th BCS Preli (Chandramallika, English) গণিত সমান্তর ধারা (Arithmetic Progression)

1 থেকে 9 পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর বর্গের যোগফল কত?

Created: 3 days ago | Updated: 3 days ago

Updated: 3 days ago

ক

45
খ

165
গ

285
ঘ

855

BCS 47th BCS Preli (Chandramallika, English) গণিত সমান্তর ধারা (Arithmetic Progression)

1 + 2 + 3 + _____ + 25 = কত?

Created: 3 days ago | Updated: 3 days ago

Updated: 3 days ago

ক

275
খ

325
গ

375
ঘ

400

PSC MoTJ Assistant Director গণিত সমান্তর ধারা (Arithmetic Progression)

০ হতে ৯৯ পর্যন্ত সংখ্যাসমূহের যোগফল কত?

21 Exams

Created: 6 days ago | Updated: 2 days ago

Updated: 2 days ago

ক

৪৮৫০
খ

৪৯৫০
গ

৫৯৫০
ঘ

৫৭৫০

PSC Bangladesh Navy Storeman BCS 25th BCS Preli - 2004 15th BCS Preli - 1993 Primary Teacher Pre-Primary Teacher - 2013 Pre-Primary Teacher - 2016 Pre-Primary Teacher - 2014 DSS Union Social Worker - 2016 RAKUB RAKUB Officer - 2011 EBEK Field Assistant - 2018 Secondary Teacher Govt Secondary Teacher - 2011 Petrobangla – Accounts Assistant - 2019 BADC – Assistant Administrative Officer - 2020 BBS – Office Sohayak - 2021 DSHE – Laboratory Assistant - 2021 DOF – Office Sohayak - 2021 BR Pointsman - 2022 BPSC Assistant Family Planning Officer - 2022 NHA – Accounts Assistant - 2023 BEZA – Steno / UDA - 2024 DG Food – Work Assistant - 2017 ECS – Driver / Cleaner - 2025 Bangladesh Navy Storeman - 2026 গণিত সমান্তর ধারা (Arithmetic Progression)

How many terms are there in the series of 20, 25, 30, .........., 140?

Created: 2 weeks ago | Updated: 2 weeks ago

Updated: 2 weeks ago

ক

22
খ

25
গ

30
ঘ

40

Uttara Bank Uttara Bank Assistant Officer গণিত সমান্তর ধারা (Arithmetic Progression)

১+২+৩+_____ +১০০ = ?

14 Exams

Created: 2 weeks ago | Updated: 2 days ago

Updated: 2 days ago

ক

৪০৫০
খ

৫০৫০
গ

২৫৫০
ঘ

৭২৫০

PSC MPA Security Guard BCS 18th BCS Preli - 1997 BB BB Officer - 2001 NTRCA 7th NTRCA College - 2011 KB Karmasangsthan Data Entry Operator - 2011 IFIC IFIC PO - 2008 Standard Bank Standard Officer (Cash) - 2016 DGA Assistant Director - 2006 ACC Constable - 2022 BADC Office Assistant - 2022 BPSC – Staff Officer - 2023 BR – Booking Assistant - 2024 GrameenBank Grameen Officer - 2025 DOE Office Assistant - 2026 MPA Security Guard - 2026 গণিত সমান্তর ধারা (Arithmetic Progression)

শিক্ষকদের জন্য বিশেষভাবে তৈরি

১ ক্লিকে প্রশ্ন, শীট, সাজেশন ও
অনলাইন পরীক্ষা তৈরির সফটওয়্যার!

শুধু প্রশ্ন সিলেক্ট করুন — প্রশ্নপত্র অটোমেটিক তৈরি!

প্রশ্ন এডিট করা যাবে

জলছাপ দেয়া যাবে

ঠিকানা যুক্ত করা যাবে

Logo, Motto যুক্ত হবে

অটো প্রতিষ্ঠানের নাম

অটো সময়, পূর্ণমান

প্রশ্ন এডিট করা যাবে

জলছাপ দেয়া যাবে

ঠিকানা যুক্ত করা যাবে

Logo, Motto যুক্ত হবে

অটো প্রতিষ্ঠানের নাম

অটো সময়, পূর্ণমান

অটো নির্দেশনা (এডিটযোগ্য)

অটো বিষয় ও অধ্যায়

OMR সংযুক্ত করা যাবে

ফন্ট, কলাম, ডিভাইডার

প্রশ্ন/অপশন স্টাইল পরিবর্তন

সেট কোড, বিষয় কোড

অটো নির্দেশনা (এডিটযোগ্য)

অটো বিষয় ও অধ্যায়

OMR সংযুক্ত করা যাবে

ফন্ট, কলাম, ডিভাইডার

প্রশ্ন/অপশন স্টাইল পরিবর্তন

সেট কোড, বিষয় কোড

এখনই শুরু করুন ডেমো দেখুন

৫০,০০০+

শিক্ষক

৩০ লক্ষ+

প্রশ্নপত্র

Notification

How many terms of the arithmetic progression 3,7,11, ______ should be taken to make its sum equals to 820 ?

ধারার বিভিন্ন সূত্র

Related Question

Related Question

Question Analytics

Promotion