$i^2=-1$ হলে, $\frac{i^{71}+i^{75}+i^{79}+i^{83}+i^{87}}{i^{73}+i^{77}+i^{81}+i^{85}+i^{89}}=?$

বিস্তারিত সমাধান:

জটিল সংখ্যা \(i\) এর বিভিন্ন ঘাতের মান একটি চক্রাকার (cyclical) প্যাটার্ন অনুসরণ করে। এই প্যাটার্নটি হলো:

    
• \(i^1 = i\)
    
• \(i^2 = -1\) (প্রশ্নে দেওয়া আছে)
    
• \(i^3 = i^2 \cdot i = -i\)
    
• \(i^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 = 1\)

এই প্যাটার্ন প্রতি 4টি ঘাত পর পর পুনরাবৃত্তি হয়। অর্থাৎ, \(i^n\) এর মান বের করার জন্য আমরা \(n\) কে 4 দিয়ে ভাগ করে ভাগশেষ (remainder) ব্যবহার করি। যদি ভাগশেষ 0 হয়, তবে \(i^n = i^4 = 1\)।

প্রদত্ত রাশিটি হলো: \( \frac{i^{71} + i^{75} + i^{79} + i^{83} + i^{87}}{i^{73} + i^{77} + i^{81} + i^{85} + i^{89}} \)

প্রথমে লবের (numerator) পদগুলোর মান নির্ণয় করি:

    
• \(i^{71}\): \(71 \div 4 = 17\) এবং ভাগশেষ \(3\)। সুতরাং, \(i^{71} = i^3 = -i\)
    
• \(i^{75}\): \(75 \div 4 = 18\) এবং ভাগশেষ \(3\)। সুতরাং, \(i^{75} = i^3 = -i\)
    
• \(i^{79}\): \(79 \div 4 = 19\) এবং ভাগশেষ \(3\)। সুতরাং, \(i^{79} = i^3 = -i\)
    
• \(i^{83}\): \(83 \div 4 = 20\) এবং ভাগশেষ \(3\)। সুতরাং, \(i^{83} = i^3 = -i\)
    
• \(i^{87}\): \(87 \div 4 = 21\) এবং ভাগশেষ \(3\)। সুতরাং, \(i^{87} = i^3 = -i\)

সুতরাং, লব = \( (-i) + (-i) + (-i) + (-i) + (-i) = -5i \)

এবার হরের (denominator) পদগুলোর মান নির্ণয় করি:

    
• \(i^{73}\): \(73 \div 4 = 18\) এবং ভাগশেষ \(1\)। সুতরাং, \(i^{73} = i^1 = i\)
    
• \(i^{77}\): \(77 \div 4 = 19\) এবং ভাগশেষ \(1\)। সুতরাং, \(i^{77} = i^1 = i\)
    
• \(i^{81}\): \(81 \div 4 = 20\) এবং ভাগশেষ \(1\)। সুতরাং, \(i^{81} = i^1 = i\)
    
• \(i^{85}\): \(85 \div 4 = 21\) এবং ভাগশেষ \(1\)। সুতরাং, \(i^{85} = i^1 = i\)
    
• \(i^{89}\): \(89 \div 4 = 22\) এবং ভাগশেষ \(1\)। সুতরাং, \(i^{89} = i^1 = i\)

সুতরাং, হর = \( i + i + i + i + i = 5i \)

এখন, প্রদত্ত রাশিতে মানগুলো বসিয়ে পাই:

\( \frac{-5i}{5i} = -1 \)

💡 শর্টকাট টেকনিক:

প্রদত্ত রাশি: \( \frac{i^{71} + i^{75} + i^{79} + i^{83} + i^{87}}{i^{73} + i^{77} + i^{81} + i^{85} + i^{89}} \)

লব থেকে \(i^{71}\) কমন নিয়ে পাই:

\( i^{71}(1 + i^{75-71} + i^{79-71} + i^{83-71} + i^{87-71}) \)

\( = i^{71}(1 + i^4 + i^8 + i^{12} + i^{16}) \)

যেহেতু \(i^4 = 1\), তাই \(i^8 = (i^4)^2 = 1^2 = 1\), \(i^{12} = (i^4)^3 = 1^3 = 1\), এবং \(i^{16} = (i^4)^4 = 1^4 = 1\)।

সুতরাং, লব = \( i^{71}(1 + 1 + 1 + 1 + 1) = 5i^{71} \)

একইভাবে, হর থেকে \(i^{73}\) কমন নিয়ে পাই:

\( i^{73}(1 + i^{77-73} + i^{81-73} + i^{85-73} + i^{89-73}) \)

\( = i^{73}(1 + i^4 + i^8 + i^{12} + i^{16}) \)

সুতরাং, হর = \( i^{73}(1 + 1 + 1 + 1 + 1) = 5i^{73} \)

এখন, রাশিটি দাঁড়ায়:

\( \frac{5i^{71}}{5i^{73}} \)

\( = \frac{i^{71}}{i^{73}} \)

\( = i^{71-73} \)

\( = i^{-2} \)

\( = \frac{1}{i^2} \)

যেহেতু \(i^2 = -1\),

\( = \frac{1}{-1} \)

\( = -1 \)