${i^{-}}^{47}$ এর আর্গুমেন্ট কত

দেওয়া আছে, জটিল সংখ্যাটি হলো \(i^{-47}\)।

প্রথমে, আমরা \(i^{-47}\) কে সরল করব:

\(i^{-47} = \frac{1}{i^{47}}\)

এখন, \(i^{47}\) এর মান বের করি। এর জন্য 47 কে 4 দ্বারা ভাগ করতে হবে এবং ভাগশেষ দেখতে হবে:

\(47 = 4 \times 11 + 3\)

সুতরাং, \(i^{47} = i^{4 \times 11 + 3} = (i^4)^{11} \cdot i^3\)

আমরা জানি, \(i^4 = 1\) এবং \(i^3 = -i\)।

অতএব, \(i^{47} = (1)^{11} \cdot (-i) = 1 \cdot (-i) = -i\)

এখন, সরলীকৃত মানটি \(i^{-47}\) এর সূত্রে বসাই:

\(i^{-47} = \frac{1}{-i}\)

হর থেকে \(i\) দূর করার জন্য লব ও হরকে \(i\) দ্বারা গুণ করি:

\(i^{-47} = \frac{1}{-i} \times \frac{i}{i} = \frac{i}{-i^2}\)

আমরা জানি, \(i^2 = -1\)।

সুতরাং, \(i^{-47} = \frac{i}{-(-1)} = \frac{i}{1} = i\)

এখন, আমাদের \(i\) এর আর্গুমেন্ট (argument) বের করতে হবে।

জটিল সংখ্যা \(z = i\) কে \(x + iy\) আকারে লিখলে, \(z = 0 + 1 \cdot i\)।

এখানে, বাস্তব অংশ \(x = 0\) এবং কাল্পনিক অংশ \(y = 1\)।

কোনো জটিল সংখ্যা \(z = x + iy\) এর আর্গুমেন্ট \(\theta\) নির্ণয়ের সূত্র হলো:

\(\theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right)\), কিন্তু যখন \(x = 0\) হয়, তখন এটি সরাসরি ব্যবহার করা যায় না।

জটিল সমতলে \(z = 0 + 1 \cdot i\) বিন্দুটি ধনাত্মক কাল্পনিক অক্ষের উপর অবস্থিত।

যদি \(x = 0\) এবং \(y > 0\) হয়, তবে আর্গুমেন্ট \(\theta = \frac{\pi}{2}\)।

যদি \(x = 0\) এবং \(y < 0\) হয়, তবে আর্গুমেন্ট \(\theta = -\frac{\pi}{2}\) (বা \(\frac{3\pi}{2}\))।

এখানে, \(x = 0\) এবং \(y = 1 > 0\), তাই \(i\) এর আর্গুমেন্ট হবে \(\frac{\pi}{2}\)।

আর্গুমেন্টের প্রধান মান সাধারণত \(-\pi < \theta \le \pi\) পরিসরে নেওয়া হয়। এই পরিসরে \(\frac{\pi}{2}\) একটি বৈধ মান।

অতএব, \(i^{-47}\) এর আর্গুমেন্ট হলো \(\frac{\pi}{2}\)।

আমরা জানি, \(i^n\) এর মান 4 এর চক্রে আবর্তিত হয়। \(i^{-47}\) এর জন্য, ঘাতকে 4 দ্বারা ভাগ করে ভাগশেষ বের করি। ঋণাত্মক ঘাতের ক্ষেত্রে আমরা 4 এর গুণিতক যোগ করে ঘাতকে ধনাত্মক করে নিতে পারি:

\(-47 + (12 \times 4) = -47 + 48 = 1\)

সুতরাং, \(i^{-47} = i^1 = i\)

এখন, \(i\) এর আর্গুমেন্ট বের করা প্রয়োজন। জটিল সমতলে \(i\) ধনাত্মক কাল্পনিক অক্ষে অবস্থিত। তাই, এর আর্গুমেন্ট সরাসরি \(\frac{\pi}{2}\)।