$\frac{i^{-5}}{1+i^9}$ এর বাস্তব ও কাল্পনিক অংশের সমষ্টি কত?

প্রথমে প্রদত্ত জটিল সংখ্যাটিকে সরলীকরণ করতে হবে। জটিল সংখ্যাটি হলো \( \frac{i^{-5}}{1+i^9} \)।

আমরা জানি, \( i^1 = i \), \( i^2 = -1 \), \( i^3 = -i \), \( i^4 = 1 \) এবং \( i^{4n} = 1 \) যেখানে \(n\) একটি পূর্ণসংখ্যা।

লবের সরলীকরণ:

\( i^{-5} = \frac{1}{i^5} \)

\( = \frac{1}{i^{4 \cdot 1 + 1}} \)

\( = \frac{1}{i^1} \)

\( = \frac{1}{i} \)

হর থেকে \(i\) অপসারণের জন্য লব ও হরকে \(i\) দ্বারা গুণ করি:

\( = \frac{1 \cdot i}{i \cdot i} \)

\( = \frac{i}{i^2} \)

\( = \frac{i}{-1} \)

\( = -i \)

হরের সরলীকরণ:

\( 1+i^9 \)

\( = 1+i^{4 \cdot 2 + 1} \)

\( = 1+i^1 \)

\( = 1+i \)

সম্পূর্ণ জটিল সংখ্যাটির সরলীকরণ:

এখন, প্রদত্ত জটিল সংখ্যাটি দাঁড়ায়:

\( \frac{-i}{1+i} \)

হর থেকে \(i\) অপসারণের জন্য লব ও হরকে হরের অনুবন্ধী (conjugate) \( (1-i) \) দ্বারা গুণ করি:

\( = \frac{-i(1-i)}{(1+i)(1-i)} \)

\( = \frac{-i+i^2}{1^2-i^2} \)

\( = \frac{-i+(-1)}{1-(-1)} \)

\( = \frac{-1-i}{1+1} \)

\( = \frac{-1-i}{2} \)

\( = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2}i \)

এখানে, জটিল সংখ্যাটির বাস্তব অংশ (real part) হলো \( -\frac{1}{2} \) এবং কাল্পনিক অংশ (imaginary part) হলো \( -\frac{1}{2} \)।

বাস্তব ও কাল্পনিক অংশের সমষ্টি:

বাস্তব অংশ + কাল্পনিক অংশ

\( = -\frac{1}{2} + (-\frac{1}{2}) \)

\( = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \)

\( = -\frac{1+1}{2} \)

\( = -\frac{2}{2} \)

\( = -1 \)

সুতরাং, জটিল সংখ্যাটির বাস্তব ও কাল্পনিক অংশের সমষ্টি হলো \( -1 \)।