If the length of an edge of cube M is twice the length of an edge of cube N, what is the ratio of the volume of cube N to the volume of cube M ?

আমরা জানি, একটি ঘনকের প্রতিটি ধারের দৈর্ঘ্য যদি 'a' হয়, তাহলে ঘনকটির আয়তন হয় \(a^3\)।

ধরি, ঘনক N এর প্রতিটি ধারের দৈর্ঘ্য হলো 'n' একক।

সুতরাং, ঘনক N এর আয়তন (\(V_N\)) হবে \(n^3\) ঘন একক।

প্রশ্ন অনুযায়ী, ঘনক M এর প্রতিটি ধারের দৈর্ঘ্য ঘনক N এর প্রতিটি ধারের দৈর্ঘ্যের দ্বিগুণ।

সুতরাং, ঘনক M এর প্রতিটি ধারের দৈর্ঘ্য হবে \(2n\) একক।

অতএব, ঘনক M এর আয়তন (\(V_M\)) হবে \((2n)^3\) ঘন একক।

\(V_M = (2n)^3 = 2^3 \times n^3 = 8n^3\) ঘন একক।

এখন, ঘনক N এর আয়তন এবং ঘনক M এর আয়তনের অনুপাত বের করতে হবে:

\(V_N : V_M = n^3 : 8n^3\)

উভয় পক্ষকে \(n^3\) দ্বারা ভাগ করে পাই:

\(V_N : V_M = 1 : 8\)

সুতরাং, ঘনক N এর আয়তন এবং ঘনক M এর আয়তনের অনুপাত হলো 1 : 8।

যদি দুটি ঘনকের ধারের দৈর্ঘ্যের অনুপাত \(a : b\) হয়, তবে তাদের আয়তনের অনুপাত হবে \(a^3 : b^3\)।

এখানে, ঘনক N এর ধারের দৈর্ঘ্যকে 1 একক ধরলে, ঘনক M এর ধারের দৈর্ঘ্য হবে 2 একক।

সুতরাং, ধারের দৈর্ঘ্যের অনুপাত = \(1 : 2\)।

অতএব, আয়তনের অনুপাত = \(1^3 : 2^3 = 1 : 8\)।