If x = log8225 and y = log215 then what is the value of x : y?

If x = log₈225 and y = log₂15 then what is the value of x : y?

Created: 4 months ago | Updated: 4 months ago

Updated: 4 months ago

ক

2 : 3
খ

3 : 2
গ

8 : 15
ঘ

15 : 8

200

ব্যাখ্যাঃ

বিস্তারিত সমাধান:

প্রদত্ত মানগুলো হলো:

$x = \log_8 225$

$y = \log_2 15$

আমাদের $x : y$ এর মান নির্ণয় করতে হবে।

প্রথমে, $x$ এর মানটিকে সরলীকরণ করি। আমরা জানি, লগারিদমের ভিত্তি পরিবর্তন করা যেতে পারে এবং ঘাতকে সামনে আনা যেতে পারে।

$x = \log_8 225$

এখানে, ভিত্তি $8 = 2^3$ এবং সংখ্যা $225 = 15^2$।

লগারিদমের ধর্ম $\log_{b^m} a^n = \frac{n}{m} \log_b a$ ব্যবহার করে পাই:

$x = \log_{2^3} 15^2$

$x = \frac{2}{3} \log_2 15$

এখন, $y$ এর মানটি হলো:

$y = \log_2 15$

অতএব, $x$ এবং $y$ এর অনুপাত হবে:

$x : y = \left(\frac{2}{3} \log_2 15\right) : (\log_2 15)$

উভয় পক্ষকে $\log_2 15$ দ্বারা ভাগ করে (যেহেতু $\log_2 15 \neq 0$):

$x : y = \frac{2}{3} : 1$

অনুপাতকে পূর্ণসংখ্যায় প্রকাশ করার জন্য উভয় পক্ষকে 3 দ্বারা গুণ করি:

$x : y = 2 : 3$

সুতরাং, $x : y$ এর মান হলো 2 : 3।

Najjar Hossain Raju

3 months ago

MCQ: 295 CQ: 36

Practice

লগারিদম (Logarithms)

লগারিদম হলো সূচকের একটি বিশেষ রূপ, যার মাধ্যমে কোনো সংখ্যাকে কত ঘাত করলে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা পাওয়া যায় তা নির্ণয় করা হয়।

মৌলিক ধারণা

যদি,

$a^{x} = N$

তবে,

$\log_{a} N = x$

এখানে,
a = ভিত্তি (Base)
N = সংখ্যা
x = লগারিদমের মান

উদাহরণ

$2^{3} = 8$

অতএব,

$\log_{2} 8 = 3$

লগারিদমের গুরুত্বপূর্ণ সূত্রাবলি

১. গুণের সূত্র

$\log_{a} (M N) = \log_{a} M + \log_{a} N$

২. ভাগের সূত্র

$\log_{a} \frac{M}{N} = \log_{a} M - \log_{a} N$

৩. ঘাতের সূত্র

$\log_{a} M^{n} = n \log_{a} M$

সাধারণ লগারিদম

যখন ভিত্তি 10 হয়, তখন তাকে সাধারণ লগারিদম বলা হয়।

$\log_{10} N$

প্রাকৃতিক লগারিদম

যখন ভিত্তি e হয়, তখন তাকে প্রাকৃতিক লগারিদম বলা হয়।

$\log_{e} N$

গুরুত্বপূর্ণ ধারণা

লগারিদম সূচকের বিপরীত প্রক্রিয়া
ভিত্তি অবশ্যই ধনাত্মক হতে হবে
ভিত্তি 1 হতে পারবে না
লগারিদমের মান নির্ণয়ে সূত্রগুলো গুরুত্বপূর্ণ

মনে রাখার উপায়

“গুণে যোগ, ভাগে বিয়োগ, ঘাতে সামনে আসে” — এই নিয়ম মনে রাখলে লগারিদমের সূত্র সহজে মনে থাকে।

সূচকীয় রাশির মান বের করতে লগারিদম (Logarithms) ব্যবহার করা হয়। সাধারণ লগারিদমকে সংক্ষেপে লগ (Log) লেখা হয়। বড় বড় সংখ্যা বা রাশির গুণফল, ভাগফল ইত্যাদি লগারিদমের সাহায্যে সহজে নির্ণয় করা যায়।

আমরা জানি, $2^{3} = ৪$ এই গাণিতিক উক্তিটিকে লগের মাধ্যমে লেখা হয় $\log_{2} 8 = 3$ হলে $2^{3} = ৪$ একইভাবে $2^{- 3} = \frac{1}{2^{3}} = \frac{1}{8}$ কে লগের মাধ্যমে লেখা যায়, $\log_{2} \frac{1}{8} = - 3$ ।

$a^{x} = N, (a > 0, a \neq 1)$ হলে, $x = \log_{a} N$ কে N এর a ভিত্তিক লগ বলা হয়।

দ্রষ্টব্য : ধনাত্মক বা ঋণাত্মক যাই হোক না কেন, a > 0 হলে $a^{z}$ সর্বদা ধনাত্মক। তাই শুধু ধনাত্মক সংখ্যারই লগের মান আছে যা বাস্তব। শূন্য বা ঋণাত্মক সংখ্যার লগের বাস্তব মান নেই।

লগারিদমের সূত্রাবলি (Laws of Logarithms)

ধরি, a > 0, a ≠ 1; b > 0, b ≠ 1 এবং M > 0, N > 0

সূত্র ৬ (শূন্য ও এক লগ). a > 0, a = 1 হলে ক) $\log_{a} 1 = 0$ খ) $\log_{a} a = 1$

উদাহরণ ৭. ক) $5 \sqrt{5}$ এর 5 ভিত্তিক লগ কত? খ) 400 এর লগ 4 হলে লগের ভিত্তি কত?

সমাধান :

সংখ্যার বৈজ্ঞানিক বা আদর্শ রূপ (Scientific or Standard Form of Numbers)

সূচকের সাহায্যে আমরা অনেক বড় বা অনেক ছোট সংখ্যাকে সহজ আকারে প্রকাশ করতে পারি।

যেমন, আলোর গতি = 300000 কি.মি./সে. 300000000 মিটার/সে

= 3 × 100000000মি./সে. = 3 × 10º মি./সে.

আবার, একটি হাইড্রোজেন পরমাণুর ব্যাসার্ধ

= 0.0000000037 সে. মি.

$= \frac{37}{10000000000}$ সে.মি. $= 37 \times 10^{- 10}$ সে.মি.

= $3.7 \times 10 \times 10^{- 10}$ সে.মি. $= 3.7 \times 10^{- 9}$ সে.মি.

সুবিধার্থে অনেক বড় বা অনেক ছোট সংখ্যাকে ax 10” আকারে প্রকাশ করা হয়, যেখানে, 1 < a < 10 এবং n ∈ Z । কোনো সংখ্যার $a \times 10^{n}$ রূপকে বলা হয় সংখ্যাটির বৈজ্ঞানিক বা আদর্শ রূপ।

লগারিদম পদ্ধতি (Logarithmic Method)

লগারিদম পদ্ধতি দুই ধরনের :

ক) স্বাভাবিক লগারিদম (Natural Logarithm): স্কটল্যান্ডের গণিতবিদ জন নেপিয়ার (John Napier: 1550-1617) ১৬১৪ সালে e কে ভিত্তি ধরে প্রথম লগারিদম সম্পর্কিত বই প্রকাশ করেন। e একটি অমূলদ সংখ্যা, e = 2.71828...। তাঁর এই লগারিদমকে নেপিরিয়ান লগারিদম বা e ভিত্তিক লগারিদম বা তত্ত্বীয় লগারিদমও বলা হয়। $\log_{e} x$ কে Inx আকারেও লেখা হয়।

খ) সাধারণ লগারিদম ( Common Logarithm): ইংল্যান্ডের গণিতবিদ হেনরি ব্রিগস (Henry Briggs: 1561-1630) ১৬২৪ সালে 10 কে ভিত্তি ধরে লগারিদমের টেবিল (লগ টেবিল বা লগ সারণি) তৈরি করেন। তাঁর এই লগারিদমকে ব্রিগস লগারিদম বা 10 ভিত্তিক লগারিদম বা ব্যবহারিক লগারিদমও বলা হয়। এই লগারিদমকে $\log_{1 o} x$ আকারে লেখা হয়।

দ্রষ্টব্য : লগারিদমের ভিত্তির উল্লেখ না থাকলে রাশির (বীজগণিতীয়) ক্ষেত্রে e কে এবং সংখ্যার ক্ষেত্রে 10 কে ভিত্তি হিসেবে ধরা হয়। লগ সারণিতে ভিত্তি 10 ধরতে হয়।

সাধারণ লগের পূর্ণক (Characteristics of Common Log)

একটি সংখ্যা N কে বৈজ্ঞানিক আকারে প্রকাশ করে পাই,

$N = a \times 10^{n},$ যেখানে $N > 0, 1 \leq a < 10$ এবং n ∈ Z

উভয়পক্ষে 10 ভিত্তিতে লগ নিয়ে পাই,

ভিত্তি 10 উহ্য রেখে পাই, logN = n + loga

n কে বলা হয় logN এর পূর্ণক।

দ্রষ্টব্য : নিচের ছক থেকে লক্ষ করি: প্রদত্ত সংখ্যার পূর্ণ অংশে যতগুলো অঙ্ক থাকবে, সংখ্যাটির লগারিদমের পূর্ণক হবে সেই অঙ্কসংখ্যার চেয়ে 1 কম এবং তা হবে ধনাত্মক। অর্থাৎ উল্লিখিত অঙ্ক সংখ্যা m হলে সংখ্যাটির লগারিদমের পূর্ণক হবে m - 1

দ্রষ্টব্য: এবার নিচের ছক থেকে লক্ষ করি: প্রদত্ত সংখ্যার পূর্ণ অংশ না থাকলে দশমিক বিন্দু ও এর পরের প্রথম সার্থক অঙ্কের মাঝে যতগুলো ০ (শূন্য) থাকবে, সংখ্যাটির লগারিদমের পূর্ণক হবে শূন্যের সংখ্যার চেয়ে 1 বেশি এবং তা হবে ঋণাত্মক। অর্থাৎ উল্লিখিত শূন্যের সংখ্যা k হলে সংখ্যাটির লগারিদমের পূর্ণক হবে {–(k + 1)}।

পূর্ণক ঋনাত্মক হলে, পূর্ণকটির বামে ‘–' চিহ্ন না দিয়ে পূর্ণকটির উপরে '—' (বার চিহ্ন) দিয়ে লেখা হয়। যেমন, পূর্ণক –3 কে লেখা হবে $\bar{3}$ দিয়ে। তা না হলে অংশকসহ লগের সম্পূর্ণ অংশটি ঋণাত্মক বুঝাবে।

দ্রষ্টব্য : পূর্ণক ধনাত্মক বা ঋণাত্মক হতে পারে, কিন্তু অংশক সর্বদা ধনাত্মক।

উদাহরণ ১১. নিচের সংখ্যাগুলোর লগের পূর্ণক নির্ণয় কর :

ক) 5570 খ) 45.70 গ) 0.4305 ঘ) 0.000435

সমাধান :

সাধারণ লগের অংশক (Mantissa of Common Log)

কোনো সংখ্যার সাধারণ লগের অংশক 1 অপেক্ষা ছোট একটি অঋণাত্মক সংখ্যা। এটি মূলত: অমূলদ সংখ্যা। তবে একটি নির্দিষ্ট দশমিক স্থান পর্যন্ত অংশকের মান বের করা হয়। কোনো সংখ্যার লগের অংশক লগ তালিকা থেকে বের করা যায়। আবার তা ক্যালকুলেটরের সাহায্যেও বের করা যায়। আমরা দ্বিতীয় পদ্ধতিতে, অর্থাৎ ক্যালকুলেটরের সাহায্যে সংখ্যার লগের অংশক বের করবো।

উদাহরণ ১২. log2717 এর পূর্ণক ও অংশক নির্ণয় কর :

সমাধান :