If $x=y^2, y=z^3$ and $z=x^k$, find k.

দেওয়া আছে:

    
• \(x = y^2\)
    
• \(y = z^3\)
    
• \(z = x^k\)

আমাদেরকে \(k\) এর মান নির্ণয় করতে হবে। আমরা এক সম্পর্ক থেকে অন্য সম্পর্কে প্রতিস্থাপন করে \(x\) এর সাথে \(x^k\) এর সম্পর্ক বের করব।

প্রথমে, দ্বিতীয় সম্পর্ক \(y = z^3\) কে প্রথম সম্পর্কে \(x = y^2\) প্রতিস্থাপন করি:

\(x = (z^3)^2\)

সূত্রের নিয়ম অনুযায়ী, \((a^m)^n = a^{mn}\):

\(x = z^{3 \times 2}\)

\(x = z^6\)

এখন, তৃতীয় সম্পর্ক \(z = x^k\) কে এই নতুন সমীকরণে \(x = z^6\) প্রতিস্থাপন করি:

\(x = (x^k)^6\)

আবার সূত্রের নিয়ম \((a^m)^n = a^{mn}\) ব্যবহার করে:

\(x = x^{k \times 6}\)

\(x = x^{6k}\)

বাম পাশে \(x\) এর ঘাত বা পাওয়ার হলো 1 (অর্থাৎ, \(x = x^1\))। যখন ভিত্তি একই হয় (এখানে \(x\)), তখন উভয় পাশের ঘাত সমান হতে হবে।

\(1 = 6k\)

\(k = \frac{1}{6}\)

সুতরাং, \(k\) এর মান হলো \(\frac{1}{6}\)।