If x + y = 7 and $x^2+y^2=25$, then which one of the following equals the value of $x^3+y^3$?

বর্গ সংবলিত সূত্রাবলি

বীজগাণিতিক প্রতীক দ্বারা প্রকাশিত যেকোনো সাধারণ নিয়ম বা সিদ্ধান্তকে বীজগাণিতিক সূত্র বলা হয় । সপ্তম ও অষ্টম শ্রেণিতে বীজগাণিতিক সূত্রাবলি ও এতদসংক্রান্ত অনুসিদ্ধান্তগুলো সম্বন্ধে আলোচনা করা হয়েছে। এ অধ্যায়ে ঐগুলো পুনরুল্লেখ করে কতিপয় প্রয়োগ দেখানো হলো।

সূত্র ১. ${(a+b)}^2=a^2+2ab+b^2$

সূত্র ২. ${(a-b)}^2=a^2–2ab+b^2$

মন্তব্য: সূত্র ১ ও সূত্র ২ হতে দেখা যায় যে, $a^2-b^2$ এর সাথে 2ab অথবা – 2ab যোগ করলে একটি পূর্ণবর্গ, অর্থাৎ ${\left(a+b\right)}^2$ অথবা ${\left(a-b\right)}^2$ পাওয়া যায়। সূত্র ১ এ b এর স্থলে –b বসালে সূত্র ২ পাওয়া যায় : ${\left\{a+(–b)\right\}}^2=a^2+2a(-b)+{(–b)}^2$ অর্থাৎ ${(a-b)}^2=a^2–2ab+b^2$ ।

অনুসিদ্ধান্ত ১. $a^2+b^2={(a+b)}^2–2ab$

অনুসিদ্ধান্ত ২. $a^2+b^2={(a-b)}^2+2ab$

অনুসিদ্ধান্ত ৩. ${(a+b)}^2={(a–b)}^2+4ab$

প্রমাণ : ${(a+b)}^2 = a^2+2ab+b^2 = a^2–2ab+b^2+4ab = {(a– b)}^2+4ab$

অনুসিদ্ধান্ত ৪. ${(a-b)}^2={(a+b)}^2-4ab$

প্রমাণ : ${(a–b)}^2 = a^2–2ab+b^2 = a^2+2ab+b^2–4ab = {(a+b)}^2–4ab$

অনুসিদ্ধান্ত ৫. $a²+b² = \frac{{(a+b)}^2+{\left(a-b\right)}^2}{2}$

প্রমাণ : সূত্র ১ ও সূত্র ২ হতে,

অনুসিদ্ধান্ত ৬. $ab={\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2-{\left(\frac{a-b}{2}\right)}^2$

প্রমাণ : সূত্র ১ ও সূত্র ২ হতে,

মন্তব্য : অনুসিদ্ধান্ত ৬ প্রয়োগ করে যেকোনো দুইটি রাশির গুণফলকে ঐ দুইটি রাশির সমষ্টির অর্ধেকের বর্গ হতে ঐ দুইটি রাশির অন্তরের অর্ধেকের বর্গের অন্তররূপে প্রকাশ করা যায়।

সূত্র ৩. $a^2–b^2=(a+b) (a–b)$

অর্থাৎ, দুইটি রাশির বর্গের বিয়োগফল = রাশি দুইটির যোগফল × রাশি দুইটির বিয়োগফল

সূত্র ৪. $(x+a) (x+b) = x^2+(a + b)x+ab$

অর্থাৎ, $(x+a) (x+b)=x^2+$ (a ও b এর বীজগাণিতিক যোগফল) x + (a ও b এর গুণফল)

বর্গসূত্রের সম্প্রসারণ: a` + b + c রাশিটিতে তিনটি পদ আছে। একে (a + b) এবং c এ দুইটি পদের সমষ্টিরূপে বিবেচনা করা যায়। অতএব, সূত্র ১ প্রয়োগ করে রাশিটির বর্গ করে পাই,

$(a+b+c)²=(a+b)+c²=(a+b)²+2(a+b)c+c²$

$=a^2+2ab+b^2+2ac+2bc+c^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac$

সূত্র ৫. ${(a+b+c)}^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac$

অনুসিদ্ধান্ত ৭. $a^2+b^2+c^2 = {(a+b+c)}^2 – 2(ab+bc+ac)$

অনুসিদ্ধান্ত ৮. $2(ab+bc+ac) = {(a+b +c)}^2–(a^2+b^2+c^2)$

দ্রষ্টব্য : সূত্র ৫ প্রয়োগ করে পাই,

ক) ${(a+b-c)}^2=\{{a+b+(-c)\}}^2$

$=a^2+b^2+{(- c)}^2+2ab+2b(-c)+2a(-c)$

$=a^2+b^2+c^2+2ab–2bc–2ac$

খ) $(a-b+c{)}^2 = {a+(–b)+c}^2$

$=a^2+{(-b)}^2+c^2+ 2a(-b) + 2(-b)c + 2ac$

$=a^2+b^2+c^2-2ab-2bc+2ac$

গ) ${(a-b-c)}^2 = {\{a+(-b)+(-c\left)\right\}}^2$

$=a^2+{\left(-b\right)}^2+{\left(-c\right)}^2+2a\left(-b\right)+2\left(-b\right)\left(-c\right)+2a(-c)$

$=a^2+b^2+c^2-2ab+2bc-2ac$

উদাহরণ ১. (4x + 5y) এর বর্গ কত?

সমাধান : $(4x+5y{)}^2 = (4x{)}^2+2\times \left(4x\right)\times \left(5y\right)+(5y{)}^2 = 16x^2+40xy+25y^2$

উদাহরণ ২. (3a - 7b) এর বর্গ কত?

সমাধান : $(3a-7b{)}^2 = (3a{)}^2-2\times \left(3a\right)\times \left(7b\right)+(7b{)}^2=9a^2-42ab+49b^2$

উদাহরণ ৩. বর্গের সূত্র প্রয়োগ করে 996 এর বর্গ নির্ণয় কর।

সমাধান : $(996{)}^2=(1000-4{)}^2=(1000{)}^2-2\times 1000\times 4+4^2$

$=1000000-8000+16 = 1000016-8000 = 992016$

উদাহরণ ৪. a + b + c + d এর বর্গ কত?

সমাধান : $(a+b+c+d{)}^2=\{(a+b)+(c+d){\}}^2$

$=(a+b{)}^2+2(a+b\left)\right(c+d)+(c+d{)}^2$

$=a^2+2ab+b^2+2(ac+ad+bc+bd)+c^2+2cd+d^2$

$=a^2+b^2+c^2+d^2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd$

উদাহরণ ৫. সরল কর :

$(5x+7y+3z{)}^2+2(7x-7y-3z\left)\right(5x+7y+3z)+(7x-7y-3z{)}^2$

সমাধান : , 5x + 7y + 3z = a এবং 7x - 7y - 3z = b

$\therefore$ প্রদত্ত রাশি $=a^2+2.b.a+b^2 = a^2+2ab+b^2$

$={(a+b)}^2$

$=\left\{\right(5x+7y+3z)+(7x-7y-3z){\}}^2$

$=(12x{)}^2=144x^2$

উদাহরণ ৬. x - y = 2 এবং xy = 24 হলে, x + y এর মান কত?

সমাধান : $(x+y{)}^2 = (x-y{)}^2+4xy=(2{)}^2+4\times 24 = 4+96 = 100$

$\therefore x+y=\pm \sqrt{100}=\pm 10$

উদাহরণ ৭. যদি $a^4+a^2{b}^2+b^4=3$ এবং $a^2+ab+b^2=3$ হয়, তবে $a^2+b^2$ এর মান কত?

সমাধান : $a^4+a^2{b}^2+b^4$

$=(a^2{)}^2+2a^2{b}^2+(b^2{)}^2-a^2{b}^2$

$=(a^2+b^2{)}^2-(ab{)}^2$

$=(a^2+b^2+ab)(a^2+b^2-ab)$

$=(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)$

$\therefore$ $3=3(a^2-ab+b^2)$ [মান বসিয়ে]

বা, $a^2-ab+b^2=\frac{3}{3}=1$

এখন, $a^2+ab+b^2=3$ এবং $a^2-ab+b^2=1$

যোগ করে পাই, $2(a^2+b^2)=4$

বা, $a^2+b^2=\frac{4}{2}=2$

$\therefore$ $a^2+b^2=2$

উদাহরণ ৮. প্রমাণ কর যে, $(a+b{)}^4-(a-b{)}^4=8ab(a^2+b^2)$

সমাধান : $(a+b{)}^4-(a-b{)}^4$

$=\left\{\right(a+b{)}^2{\}}^2-\left\{\right(a-b{)}^2{\}}^2$

$=\left\{\right(a+b{)}^2+(a-b{)}^2\}\left\{\right(a+b{)}^2-(a-b{)}^2\}$

$=2(a^2+b^2)\times 4ab$ [অনুসিদ্ধান্ত ৫ এবং অনুসিদ্ধান্ত ৬ ব্যবহার করে]

$=8ab(a^2+b^2)$

$\therefore (a+b{)}^4-(a-b{)}^4=8ab(a^2+b^2)$

উদাহরণ ৯. a + b + c = 15 এবং $a^2+b^2+c^2=83$ হলে, $ab+bc+ac$ এর মান কত?

সমাধান : প্রথম পদ্ধতি :

$2(ab+bc+ac) = (a+b+c{)}^2-(a^2+b^2+c^2) = (15{)}^2-83=225-83=142$

$\therefore ab+bc+ac = \frac{142}{2} = 71$

উদাহরণ ১০. a + b + c = 2 এবং ab + bc + ac = 1 হলে, $(a+b{)}^2+(b+c{)}^2+(c+a{)}^2$ এর মান কত?

সমাধান : $(a+b{)}^2+(b+c{)}^2+(c+a{)}^2$

$=a^2+2ab+b^2+b^2+2bc+c^2+c^2+2ca+a^2$

$=(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca)+(a^2+b^2+c^2)$

$=(a+b+c{)}^2+(a+b+c{)}^2-2(ab+bc+ca)$

$=(2{)}^2+(2{)}^2-2\times 1 = 4+4-2 = 8-2=6$

উদাহরণ ১১. (2x + 3y)(4x - 5y) কে দুইটি বর্গের বিয়োগফলরূপে প্রকাশ কর।

সমাধান : ধরি, 2x + 3y = a এবং 4x - 5y = b

$\therefore$ প্রদত্ত রাশি $ab= {\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2-{\left(\frac{a-b}{2}\right)}^2$

$={\left(\frac{2x\_3y+4x-5y}{2}\right)}^2-{\left(\frac{2x+3y-4y+5y}{2}\right)}^2$ [a ও b এর মান বসিয়ে]

$=(3x-y{)}^2-(4y-x{)}^2$

$\therefore (2x+3y)(4x-5y)=(3x-y{)}^2-(4y-x{)}^2$