In a right angled triangle, the length of perpendicular and base are 1.8 cm and 2.5 cm respectively, then find its hypotenuse.

ঘন সংবলিত সূত্রাবলি

বীজগণিতে ঘন (Cube) সম্পর্কিত বিভিন্ন গুরুত্বপূর্ণ সূত্র ব্যবহার করে জটিল রাশিকে সহজে উৎপাদকে বিশ্লেষণ ও সরলীকরণ করা হয়।

ঘনের মৌলিক ধারণা

কোনো সংখ্যাকে বা রাশিকে তিনবার গুণ করলে তাকে সেই সংখ্যার ঘন বলা হয়।

উদাহরণ:

$a\times a\times a=a^3$

ঘন সংবলিত গুরুত্বপূর্ণ সূত্রাবলি

১. দুই রাশির যোগের ঘন

${(a+b)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$

২. দুই রাশির বিয়োগের ঘন

${(a-b)}^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$

৩. দুই ঘনের যোগ

$a^3+b^3=(a+b)(a^2-\mathrm{ab}+b^2)$

৪. দুই ঘনের বিয়োগ

$a^3-b^3=(a-b)(a^2+\mathrm{ab}+b^2)$

গুরুত্বপূর্ণ ধারণা

• ঘন মানে কোনো রাশির তৃতীয় ঘাত
• ঘন সূত্র উৎপাদক বিশ্লেষণে ব্যবহৃত হয়
• যোগ ও বিয়োগের ঘনের সূত্র আলাদা
• দুই ঘনের যোগ ও বিয়োগের নির্দিষ্ট সূত্র রয়েছে

মনে রাখার উপায়

“দুই ঘনের যোগে মাঝখানে ঋণ, আর বিয়োগে মাঝখানে ধন” — এই নিয়ম মনে রাখলে সূত্র সহজে মনে থাকে।

ঘন সংবলিত সূত্রাবলি

সূত্র ৬. $(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3=a^3+b^3+3ab(a+b)$

প্রমাণ : $(a+b{)}^3=(a+b\left)\right(a+b{)}^2$

$=(a+b)(a^2+2ab+b^2)$

$=a(a^2+2ab+b^2)+b(a^2+2ab+b^2)$

$=a^3+2a^{2}b+a{b}^2+a^{2}b+2a{b}^2+b^3$

$=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$

$=a^3+b^3+3ab(a+b)$

অনুসিদ্ধান্ত ৯. $a^3+b^3=(a+b{)}^3-3ab(a+b)$

সূত্র ৭. $(a-b{)}^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3=a^3-b^3-3ab(a-b)$

প্রমাণ : $(a-b{)}^3=(a-b\left)\right(a-b{)}^2$

$=(a-b)(a^2-2ab+b^2)$

$=a(a^2-2ab+b^2)-b(a^2-2ab+b^2)$

$=a^3-2a^{2}b+a{b}^2-a^{2}b+2a{b}^2-b^3$

$=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$

$=a^3-b^3-3ab(a-b)$

অনুসিদ্ধান্ত ১০. $a^3-b^3=(a-b{)}^3+3ab(a-b)$

সূত্র ৮. $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

প্রমাণ : $a^3+b^3=(a+b{)}^3-3ab(a+b)$

$=(a+b)\left\{\right(a+b{)}^2-3ab\}$

$=(a+b)(a^2+2ab+b^2-3ab)$

$=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

সূত্র ৯. $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

প্রমাণ : $a^3-b^3=(a-b{)}^3+3ab(a-b)$

$=(a-b)\left\{\right(a-b{)}^2+3ab\}$

$=(a-b)(a^2-2ab+b^2+3ab)$

$=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

উদাহরণ ১২. 2x + 6y এর ঘন নির্ণয় কর।

সমাধান : $(2x+3y{)}^3$

$=(2x{)}^3+3(2x{)}^2.3y+3.2x(3y{)}^2+(3y{)}^3$

$=8x^3+3.4x^2.3y+3.2x.9y^2+27y^3$

$=8x^3+36x^{2}y+54x{y}^2+27y^3$

উদাহরণ ১৩. 2x - y এর ঘন নির্ণয় কর।

সমাধান : $(2x-y{)}^3$

$=(2x{)}^3-3(2x{)}^2.y+3.2x.y^2-y^3$

$=8x^3-3.4x^2.y+3.2x.y^2-y^3$

$=8x^3-12x^{2}y+6x{y}^2-y^3$

উদাহরণ ১৪. x = 37 হলে, $8x^3+72x^2+216x+216$ এর মান কত?

সমাধান:  $8x^3+72x^2+216x+216$

$=(2x{)}^3+3.(2x{)}^2.6+3.2x.(6{)}^2+(6{)}^3$

$=(2x+6{)}^3=(2\times 37+6{)}^3$ [মান বসিয়ে]

$=(74+6{)}^3=(80{)}^3=512000$

উদাহরণ ১৫. যদি 7x - y = 8 এবং xy = 5 হয়, তবে $x^3-y^3+8(x+y{)}^2$ এর মান কত?

সমাধান:  $x^3-y^3+8(x+y{)}^2$

$=(x-y{)}^3+3xy(x-y)+8\{(x-y{)}^2+4xy\}$

$=(8{)}^3+3\times 5\times 8+8(8^2+4\times 5)$ [মান বসিয়ে]

$=8^3+15\times 8+8(8^2+4\times 5)$

$=8^3+15\times 8+8\times 84$

$=8(8^2+15+84)=8(64+15+84)$

$=8\times 163=1304$

উদাহরণ ১৬. যদি $a =\sqrt{3}+\sqrt{2}$ হয়, তবে প্রমাণ কর যে, $a^3+\frac{1}{a^3}=18\sqrt{3}$

সমাধান : দেওয়া আছে, $a=\sqrt{3}+\sqrt{2}$

উদাহরণ ১৭. x + y = 5, xy = 6 হলে এবং x > y হলে

ক) $2(x^2+y^2)$ এর মান নির্ণয় কর।

খ) $x^3–y^3-3(x^2+y^2)$ এর মান নির্ণয় কর।

গ) $x^5+y^5$ এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান :

ক) আমরা জানি,

$=2(5^2-2.6)=2\times 13=26$

$\therefore 2(x^2+y^2)=26$

খ) দেওয়া আছে, $x+y=5$ এবং $xy=6, x>y$

$\therefore x-y=\sqrt{{(x+y)}^2–4xy}$ (প্রদত্ত শর্ত মোতাবেক ঋণাত্মক মান গ্রহণযোগ্য নয়)

$=\sqrt{5^2-4\times 6}=\sqrt{25-24}=\sqrt{1}=1$

$x^3-y^3-3(x^2+y^2)$

$=(x-y{)}^3+3xy(x-y)-\frac{3}{2}.2(x^2+y^2)$

$=1^3+3.6.1-\frac{3}{2}.26$

$=1+18-39$

$=-20$

$\therefore x^3-y^3-3(x^2+y^2)=-20$

গ) x + y = 5 এবং x - y = 1

যোগ করে, 2x = 6 $\therefore x=\frac{6}{2}=3$

বিয়োগ করে, 2y = 4 $\therefore y=\frac{4}{2}=2$

$\therefore x^5+y^5=3^5+2^5=243+32=275$