In the figure below, a square is inscribed in a circle with diameter d. What is the sum of the areas of the shaded regions in terms of d?

বৃত্তক্ষেত্র ও বৃত্তকলা ক্ষেত্রফল

কোনো বৃত্ত দ্বারা বেষ্টিত এলাকাকে বৃত্তক্ষেত্র বলা হয় এবং বৃত্তটিকে এরূপ বৃত্তক্ষেত্রের সীমারেখা বলা হয়।

বৃত্তকলা : একটি চাপ ও চাপের প্রান্তবিন্দু সংশ্লিষ্ট ব্যাসার্ধ দ্বারা বেষ্টিত ক্ষেত্রকে বৃত্তকলা বলা হয়।

O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের পরিধির উপর A ও B দুইটি বিন্দু হলে, ∠AOB এর অভ্যন্তরে OA ও OB ব্যাসার্ধ এবং AB চাপের সংযোগে গঠিত একটি বৃত্তকলা ৷

পূর্বের শ্রেণীতে আমরা শিখে এসেছি যে, বৃত্তের ব্যাসার্ধ । হলে বৃত্তের ক্ষেত্রফল $={\mathrm{\pi r}}^2$

আমরা জানি, বৃত্তের কোনো চাপ দ্বারা উৎপন্ন কেন্দ্রস্থ কোণ ঐ বৃত্তচাপের সমানুপাতিক।

সুতরাং, এ পর্যায়ে আমরা স্বীকার করে নিতে পারি যে, একই বৃত্তের দুইটি বৃত্তাংশ ক্ষেত্র এবং এরা যে চাপ দুইটির উপর দন্ডায়মান এদের পরিমাপ সমানুপাতিক।

মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ r। AOB বৃত্তকলা ক্ষেত্রটি APB চাপের উপর দন্ডায়মান, যার ডিগ্রি পরিমাপ θ। OA এর উপর OC লম্ব টানি।

বা, বৃত্তকলা AOB এর ক্ষেত্রফল $=\frac{\theta }{90°}\times$ বৃত্তকলা AOC এর ক্ষেত্রফল

উদাহরণ ১৯. একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ ৪ সে.মি. এবং একটি বৃত্তচাপ কেন্দ্রে 56° কোণ উৎপন্ন করলে, বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য এবং বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধান : মনে করি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ r = ৪ সে.মি., বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য s এবং বৃত্তচাপ দ্বারা কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ θ = 56°

উদাহরণ ২০. একটি বৃত্তের ব্যাস ও পরিধির পার্থক্য 90 সে.মি. হলে, বৃত্তের ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।

সমাধান : মনে করি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ r

$\therefore$ বৃত্তের ব্যাস 2r এবং পরিধি = $2\pi r$

প্রশ্নানুসারে, $2\pi r$ - 2r = 90

নির্ণেয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ 21.01 সে.মি. (প্রায়)

উদাহরণ ২১. একটি বৃত্তাকার মাঠের ব্যাস 124 মিটার। মাঠের সীমানা ঘেঁষে 6 মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে। রাস্তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধান :

মনে করি, বৃত্তাকার মাঠের ব্যাসার্ধ r এবং রাস্তাসহ বৃত্তাকার মাঠের ব্যাসার্ধ R.

$\therefore r=\frac{124}{2}$ মিটার = 62 মিটার এবং R = (62 + 6) মিটার - 68 মিটার

$\therefore$ রাস্তার ক্ষেত্রফল = রাস্তাসহ মাঠের ক্ষেত্রফল - মাঠের ক্ষেত্রফল

$= (\mathrm{\pi } R^2— {\mathrm{\pi r}}^2)=\pi (R^2—r^2)$

$= 3.1416(682-{62}^2) = 3.1416(4624-3844)$

= 3.1416 × 780 = 2450.44 বর্গমিটার (প্রায়)

নির্ণেয় রাস্তার ক্ষেত্রফল 2450.44 বর্গমিটার (প্রায়)