JAGANNATH শব্দটির বর্ণগুলোকে "স্বরবর্ণগুলো (vowels) সর্বদা একসাথে থাকবে এবং ব্যঞ্জনবর্ণগুলো (consonants ) সর্বদা একসাথে থাকবে"-এই শর্তে কতভাবে বিন্যস্ত করা যায়?

Created: 4 years ago | Updated: 8 months ago

Updated: 8 months ago

ক

6!
খ

$\frac{6!}{2! 3!}$
গ

$\frac{7!}{2!}$
ঘ

$\frac{9!}{3! 2!}$

BU BU A Unit উচ্চতর গণিত 2017 বিন্যাস ও সমাবেশ

ব্যাখ্যাঃ

শব্দটি হলো JAGANNATH।

শব্দটিতে মোট অক্ষর আছে ৯টি।

অক্ষরগুলো হলো: J, A, G, A, N, N, A, T, H।

এদের মধ্যে স্বরবর্ণ (Vowels) গুলো হলো: A, A, A (৩টি 'A' অক্ষর)।

এবং ব্যঞ্জনবর্ণ (Consonants) গুলো হলো: J, G, N, N, T, H (৬টি অক্ষর, যার মধ্যে 'N' অক্ষরটি ২ বার আছে)।

প্রশ্নানুসারে, স্বরবর্ণগুলো সর্বদা একসাথে থাকবে এবং ব্যঞ্জনবর্ণগুলো সর্বদা একসাথে থাকবে।

ধরি, সকল স্বরবর্ণ (A A A) মিলে একটি ব্লক (Block) এবং সকল ব্যঞ্জনবর্ণ (J G N N T H) মিলে আরেকটি ব্লক।

তাহলে আমাদের কাছে মোট ২টি ব্লক আছে: (A A A) এবং (J G N N T H)।

এই ২টি ব্লককে নিজেদের মধ্যে বিন্যস্ত করা যায় $2!$ উপায়ে।

এখন, প্রতিটি ব্লকের ভেতরের অক্ষরগুলোকে বিন্যস্ত করার উপায় নির্ণয় করি:

১. স্বরবর্ণের ব্লক (A A A):

স্বরবর্ণের ব্লকে ৩টি 'A' অক্ষর আছে। যেহেতু সব অক্ষর একই, তাই এদেরকে নিজেদের মধ্যে বিন্যস্ত করা যায় $\frac{3!}{3!} = 1$ উপায়ে।

২. ব্যঞ্জনবর্ণের ব্লক (J G N N T H):

ব্যঞ্জনবর্ণের ব্লকে মোট ৬টি অক্ষর আছে: J, G, N, N, T, H। এর মধ্যে 'N' অক্ষরটি ২ বার পুনরাবৃত্তি হয়েছে।

সুতরাং, ব্যঞ্জনবর্ণগুলোকে নিজেদের মধ্যে বিন্যস্ত করা যায় $\frac{6!}{2!}$ উপায়ে।

মোট বিন্যাস সংখ্যা হবে, ব্লকগুলোর বিন্যাস সংখ্যা $\times$ স্বরবর্ণ ব্লকের ভেতরের বিন্যাস সংখ্যা $\times$ ব্যঞ্জনবর্ণ ব্লকের ভেতরের বিন্যাস সংখ্যা।

মোট বিন্যাস সংখ্যা = $2! \times \frac{3!}{3!} \times \frac{6!}{2!}$

= $2 \times 1 \times \frac{6!}{2}$

= $6!$

= $720$

সুতরাং, JAGANNATH শব্দটির বর্ণগুলোকে প্রদত্ত শর্তে $6!$ উপায়ে বিন্যস্ত করা যায়।

Satt AI

2 weeks ago

MCQ: 153

Practice

বিন্যাস ও সমাবেশ

বিন্যাস এবং সমাবেশ হলো গণিতের গুরুত্বপূর্ণ দুটি ধারণা, যা প্রধানত কম্বিনেটরিক্সে ব্যবহৃত হয়।

১. বিন্যাস (Permutation)

বিন্যাস হলো নির্দিষ্ট কিছু বস্তু বা উপাদানকে একটি নির্দিষ্ট ক্রমে সাজানোর পদ্ধতি। যখন কোনো সেটের বস্তুর ক্রমানুসারে সাজানো হয়, তখন সেটি বিন্যাস নামে পরিচিত।

উদাহরণ:

ধরা যাক, $ A, B $ এবং $ C $ তিনটি বস্তুকে কতভাবে সাজানো যায়। এখানে সম্ভাব্য সব বিন্যাসগুলো হবে $ ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA $, অর্থাৎ মোট ৬টি।

বিন্যাসের সূত্র

$ n $টি ভিন্ন বস্তু থেকে $ r $টি বস্তু নিয়ে বিন্যাসের সংখ্যা বের করার জন্য ব্যবহার করা হয়:

\[
P(n, r) = \frac{n!}{(n - r)!}
\]

এখানে $ n! $ মানে $ n $ এর ফ্যাক্টোরিয়াল, অর্থাৎ $ n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \ldots \times 1 $।

উদাহরণ:

ধরা যাক, $5$টি ভিন্ন ভিন্ন বস্তু থেকে $3$টি বস্তুর বিন্যাসের সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে:

\[
P(5, 3) = \frac{5!}{(5 - 3)!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 60
\]

২. সমাবেশ (Combination)

সমাবেশ হলো নির্দিষ্ট কিছু বস্তু বা উপাদানকে যে কোনো ক্রমে নিয়ে একটি সেট তৈরি করা। সমাবেশে ক্রম গুরুত্বপূর্ণ নয়, শুধুমাত্র বস্তুর উপস্থিতিই গুরুত্বপূর্ণ।

উদাহরণ:

ধরা যাক, $ A, B $ এবং $ C $ তিনটি বস্তুর সমাবেশের সম্ভাব্য সব উপায় বের করতে হবে যদি দুটি বস্তুর সমাবেশ প্রয়োজন হয়। এখানে সম্ভাব্য সমাবেশগুলো হবে $ AB, AC, BC $, অর্থাৎ মোট ৩টি।

সমাবেশের সূত্র

$ n $টি ভিন্ন বস্তু থেকে $ r $টি বস্তুর সমাবেশের সংখ্যা নির্ণয় করতে ব্যবহার করা হয়:

\[
C(n, r) = \frac{n!}{r! \times (n - r)!}
\]

উদাহরণ:

ধরা যাক, $5$টি ভিন্ন ভিন্ন বস্তু থেকে $3$টি বস্তুর সমাবেশের সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে:

\[
C(5, 3) = \frac{5!}{3! \times (5 - 3)!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1 \times 2 \times 1} = 10
\]

মূল পার্থক্য

বিন্যাসে ক্রমানুসারে সাজানো গুরুত্বপূর্ণ। তাই বিভিন্ন ক্রমে সাজানো হলে, সেটি আলাদা বিন্যাস হিসেবে গণ্য হয়।
সমাবেশে ক্রমানুসার গুরুত্বপূর্ণ নয়। তাই শুধু উপস্থিতিই গুরুত্ব রাখে।

এই ধারণাগুলো গণিতের বিভিন্ন ক্ষেত্র, যেমন সম্ভাবনা ও পরিসংখ্যান, এবং বাস্তব জীবনের সমস্যার সমাধানে গুরুত্বপূর্ণ।

১. বিন্যাস (Permutation)

উদাহরণ:

বিন্যাসের সূত্র

উদাহরণ:

২. সমাবেশ (Combination)

উদাহরণ:

সমাবেশের সূত্র

উদাহরণ:

মূল পার্থক্য

Related Question

Related Question

Question Analytics

Promotion