k এর মান কত হলে $x^2+(k^2-4)x+(2k-6)=0$ সমীকরণের মূল দুইটি পরস্পর উল্টা ও বিপরীত চিহ্ন বিশিষ্ট হবে?

ব্যাখ্যাঃ বিস্তারিত সমাধান: আমরা জানি, একটি দ্বিঘাত সমীকরণ \(ax^2 + bx + c = 0\) এর মূলদ্বয় \(\alpha\) ও \(\beta\) হলে, মূলদ্বয়ের যোগফল \((\alpha + \beta) = -b/a\) মূলদ্বয়ের গুণফল \((\alpha \beta) = c/a\) প্রদত্ত সমীকরণটি হলো: \(x^2 + (k^2 - 4)x + (2k - 6) = 0\) এই সমীকরণটিকে \(ax^2 + bx + c = 0\) এর সাথে তুলনা করলে পাই: \(a = 1\) \(b = k^2 - 4\) \(c = 2k - 6\) প্রশ্নানুযায়ী, সমীকরণের মূল দুইটি পরস্পর উল্টা ও বিপরীত চিহ্ন বিশিষ্ট। এর অর্থ হলো, যদি একটি মূল \(\alpha\) হয়, তবে অপর মূলটি হবে \(-1/\alpha\)। এখন, মূলদ্বয়ের গুণফল হবে: \(\alpha \times (-1/\alpha) = -1\) আমরা জানি, মূলদ্বয়ের গুণফল \(c/a\)। সুতরাং, \(c/a = -1\) এখানে, \(a = 1\) এবং \(c = 2k - 6\)। তাহলে, \((2k - 6) / 1 = -1\) \(2k - 6 = -1\) \(2k = -1 + 6\) \(2k = 5\) \(k = 5/2\) অতএব, \(k\) এর মান \(5/2\) হলে সমীকরণের মূল দুইটি পরস্পর উল্টা ও বিপরীত চিহ্ন বিশিষ্ট হবে।