$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\cos x-1}{x^2}=?$

বিস্তারিত সমাধান:

প্রদত্ত সীমাটি হলো:

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x^2} \]

প্রথমে, \(x \to 0\) হলে লব ও হর-এর মান পরীক্ষা করি:

    
• লব: \(\cos x - 1 \to \cos 0 - 1 = 1 - 1 = 0\)
    
• হর: \(x^2 \to 0^2 = 0\)

যেহেতু এটি \(\frac{0}{0}\) আকারের একটি অনির্ণেয় রূপ (indeterminate form), আমরা ল'হসপিটাল-এর নিয়ম (L'Hôpital's Rule) প্রয়োগ করতে পারি।

প্রথমবার ল'হসপিটাল-এর নিয়ম প্রয়োগ করে লব ও হরকে \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করি:

    
• লবের অন্তরীকরণ: \(\frac{d}{dx}(\cos x - 1) = -\sin x\)
    
• হরের অন্তরীকরণ: \(\frac{d}{dx}(x^2) = 2x\)

সুতরাং, সীমাটি দাঁড়ায়:

\[ \lim_{x \to 0} \frac{-\sin x}{2x} \]

এখন, আবার \(x \to 0\) হলে লব ও হর-এর মান পরীক্ষা করি:

    
• লব: \(-\sin x \to -\sin 0 = 0\)
    
• হর: \(2x \to 2(0) = 0\)

এটি এখনও \(\frac{0}{0}\) আকারের অনির্ণেয় রূপ, তাই আমরা আরও একবার ল'হসপিটাল-এর নিয়ম প্রয়োগ করব।

দ্বিতীয়বার ল'হসপিটাল-এর নিয়ম প্রয়োগ করে লব ও হরকে \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করি:

    
• লবের অন্তরীকরণ: \(\frac{d}{dx}(-\sin x) = -\cos x\)
    
• হরের অন্তরীকরণ: \(\frac{d}{dx}(2x) = 2\)

সুতরাং, সীমাটি দাঁড়ায়:

\[ \lim_{x \to 0} \frac{-\cos x}{2} \]

এখন \(x = 0\) বসিয়ে সীমার মান নির্ণয় করি:

\[ \frac{-\cos 0}{2} = \frac{-1}{2} \]

অতএব, সঠিক উত্তরটি হলো \(-\frac{1}{2}\)।

💡 শর্টকাট টেকনিক:

আমরা জানি যে, \(1 - \cos x = 2 \sin^2 \left(\frac{x}{2}\right)\)।

সুতরাং, \(\cos x - 1 = -(1 - \cos x) = -2 \sin^2 \left(\frac{x}{2}\right)\)।

প্রদত্ত সীমাটিকে এভাবে লেখা যায়:

\[ \lim_{x \to 0} \frac{-2 \sin^2 \left(\frac{x}{2}\right)}{x^2} \]

এখন পদগুলিকে সাজিয়ে লিখি:

\[ = \lim_{x \to 0} -2 \cdot \frac{\sin^2 \left(\frac{x}{2}\right)}{x^2} \]

\[ = \lim_{x \to 0} -2 \cdot \left( \frac{\sin \left(\frac{x}{2}\right)}{x} \right)^2 \]

হরকে \(\left(\frac{x}{2}\right)\) আকারে আনতে, হরের \(x\) কে \(\frac{x}{2} \cdot 2\) হিসেবে লিখি:

\[ = \lim_{x \to 0} -2 \cdot \left( \frac{\sin \left(\frac{x}{2}\right)}{\frac{x}{2} \cdot 2} \right)^2 \]

\[ = \lim_{x \to 0} -2 \cdot \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin \left(\frac{x}{2}\right)}{\frac{x}{2}} \right)^2 \]

\[ = \lim_{x \to 0} -2 \cdot \frac{1}{4} \cdot \left( \frac{\sin \left(\frac{x}{2}\right)}{\frac{x}{2}} \right)^2 \]

\[ = \lim_{x \to 0} -\frac{1}{2} \cdot \left( \frac{\sin \left(\frac{x}{2}\right)}{\frac{x}{2}} \right)^2 \]

আমরা জানি, \(\lim_{y \to 0} \frac{\sin y}{y} = 1\)। এখানে \(y = \frac{x}{2}\) এবং \(x \to 0\) হলে \(y \to 0\) হয়।

অতএব,

\[ = -\frac{1}{2} \cdot (1)^2 \]

\[ = -\frac{1}{2} \]