$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\tan 2x}{\sin 5x}=$ কত?

প্রদত্ত সীমার মান নির্ণয় করতে হবে:

\(\lim_{x \to 0} \frac{\tan 2x}{\sin 5x}\)

যখন \(x \to 0\), তখন লব (\(\tan 2x\)) এবং হর (\(\sin 5x\)) উভয়ই \(0\) এর দিকে যায়। এটি \(\frac{0}{0}\) আকারের একটি অনির্ণেয় রূপ। এই ধরনের সীমা নির্ণয়ের জন্য আমরা কিছু আদর্শ সীমার সূত্র ব্যবহার করতে পারি:

    
• \(\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1\)
    
• \(\lim_{\theta \to 0} \frac{\tan \theta}{\theta} = 1\)

বিস্তারিত সমাধান:

প্রদত্ত সীমাটিকে আমরা উপরের সূত্রগুলি প্রয়োগ করার জন্য পুনর্গঠন করব:

\(\lim_{x \to 0} \frac{\tan 2x}{\sin 5x}\)

লব এবং হর উভয়কে \(x\) দ্বারা ভাগ করে পাই:

\(\lim_{x \to 0} \frac{\frac{\tan 2x}{x}}{\frac{\sin 5x}{x}}\)

এবার, স্ট্যান্ডার্ড সূত্র অনুযায়ী সাজানোর জন্য লবের \(\tan 2x\) এর সাথে হরে \(2x\) আনার জন্য \(2\) গুণ ও ভাগ করব এবং হরের \(\sin 5x\) এর সাথে হরে \(5x\) আনার জন্য \(5\) গুণ ও ভাগ করব:

\(\lim_{x \to 0} \frac{\frac{\tan 2x}{2x} \cdot 2}{\frac{\sin 5x}{5x} \cdot 5}\)

সীমার বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে, আমরা এটিকে এভাবে লিখতে পারি:

\(\frac{\lim_{x \to 0} \left( \frac{\tan 2x}{2x} \cdot 2 \right)}{\lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin 5x}{5x} \cdot 5 \right)}\)

বা,

\(\frac{2 \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\tan 2x}{2x}}{5 \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{5x}}\)

যেহেতু \(x \to 0\), তাই \(2x \to 0\) এবং \(5x \to 0\)। উপরের আদর্শ সূত্রগুলো ব্যবহার করে পাই:

    
• \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan 2x}{2x} = 1\)
    
• \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{5x} = 1\)

এই মানগুলো বসিয়ে পাই:

\(\frac{2 \cdot 1}{5 \cdot 1} = \frac{2}{5}\)

সুতরাং, নির্ণেয় সীমার মান হলো \(\frac{2}{5}\)।

💡 শর্টকাট টেকনিক:

যদি সীমাটি \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan ax}{\sin bx}\) আকারে থাকে, যেখানে \(a\) এবং \(b\) অশূন্য ধ্রুবক, তবে এর মান সরাসরি \(\frac{a}{b}\) হয়।

প্রদত্ত সমস্যাটি \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan 2x}{\sin 5x}\) আকারের। এখানে \(a = 2\) এবং \(b = 5\)।

অতএব, সীমার মান হবে \(\frac{2}{5}\)।

এই শর্টকাটটি ভর্তি পরীক্ষার জন্য খুবই কার্যকর।