$p^2=\frac{2p}{x}-1$ হলে, $\frac{p + 1}{p - 1}$ এর মান নিচের কোনটি?

ব্যাখ্যাঃ বিস্তারিত সমাধান:

প্রদত্ত সমীকরণটি হলো:

\[p^2 = \frac{2p}{x} - 1\]

সমীকরণের উভয় পাশে 1 যোগ করে পাই:

\[p^2 + 1 = \frac{2p}{x}\]

উভয় পক্ষকে \(p\) দ্বারা ভাগ করে পাই (যেখানে \(p \neq 0\), কারণ \(p=0\) হলে \(0 = 0 - 1 \implies 0 = -1\), যা অসম্ভব):

\[\frac{p^2 + 1}{p} = \frac{2p}{xp}\] \[p + \frac{1}{p} = \frac{2}{x} \qquad \text{(i)}\]

এখন, আমাদের \(\frac{p+1}{p-1}\) এর মান নির্ণয় করতে হবে। ধরা যাক, এই রাশিটির মান \(y\) :

\[y = \frac{p+1}{p-1}\]

বজ্রগুণন করে পাই:

\[y(p-1) = p+1\] \[yp - y = p+1\]

\(p\) যুক্ত পদগুলো একপাশে এবং \(y\) ও ধ্রুবক পদগুলো অন্যপাশে নিয়ে:

\[yp - p = y+1\] \[p(y-1) = y+1\]

এখন \(p\) এর মান \(y\) এর মাধ্যমে প্রকাশ করি:

\[p = \frac{y+1}{y-1} \qquad \text{(ii)}\]

এখন (ii) নং সমীকরণ থেকে \(p\) এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:

\[\frac{y+1}{y-1} + \frac{1}{\frac{y+1}{y-1}} = \frac{2}{x}\] \[\frac{y+1}{y-1} + \frac{y-1}{y+1} = \frac{2}{x}\]

বামপাশের ভগ্নাংশ দুটির যোগফল নির্ণয় করি। সাধারণ হর হলো \((y-1)(y+1) = y^2-1\):

\[\frac{(y+1)^2 + (y-1)^2}{(y-1)(y+1)} = \frac{2}{x}\]

লবকে বিস্তৃত করি: \((y+1)^2 = y^2+2y+1\) এবং \((y-1)^2 = y^2-2y+1\)

\[\frac{(y^2+2y+1) + (y^2-2y+1)}{y^2-1} = \frac{2}{x}\] \[\frac{2y^2+2}{y^2-1} = \frac{2}{x}\]

উভয় পক্ষকে 2 দ্বারা ভাগ করে পাই:

\[\frac{y^2+1}{y^2-1} = \frac{1}{x}\]

বজ্রগুণন করে:

\[x(y^2+1) = y^2-1\] \[xy^2 + x = y^2 - 1\]

\(y^2\) যুক্ত পদগুলো একপাশে নিয়ে:

\[xy^2 - y^2 = -1 - x\] \[y^2(x-1) = -(1+x)\] \[y^2(x-1) = -(x+1)\]

\(y^2\) এর মান বের করার জন্য \((x-1)\) দিয়ে ভাগ করি:

\[y^2 = \frac{-(x+1)}{x-1}\] \[y^2 = \frac{x+1}{-(x-1)}\] \[y^2 = \frac{x+1}{1-x}\]

অতএব, \(y\) এর মান হবে:

\[y = \pm\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\]

অপশনগুলোর মধ্যে ধনাত্মক বর্গমূলটি হলো:

\[\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\]

সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো অপশন 3।