sinθ + cos θ = 2 হলে, 0 ≤ θ ≤ π/2 ব্যবধিতে θ এর মান কত?

$\sin θ + \cos θ = \sqrt{2}$ হলে, 0 ≤ θ ≤ π/2 ব্যবধিতে θ এর মান কত?

Created: 2 years ago | Updated: 9 months ago

Updated: 9 months ago

ক

π/6
খ

π/4
গ

π/3
ঘ

π/2

CU CU D Unit উচ্চতর গণিত 2024 বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের মূল সমীকরণ

293

ব্যাখ্যাঃ

বিস্তারিত সমাধান:

প্রদত্ত সমীকরণটি হলো:

$\sin\theta + \cos\theta = \sqrt{2}$

উভয় পক্ষকে $ \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} $ দ্বারা ভাগ করে পাই:

$\frac{1}{\sqrt{2}}\sin\theta + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos\theta = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

$\frac{1}{\sqrt{2}}\sin\theta + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos\theta = 1$

আমরা জানি, $ \cos(\pi/4) = \frac{1}{\sqrt{2}} $ এবং $ \sin(\pi/4) = \frac{1}{\sqrt{2}} $। মানগুলো প্রতিস্থাপন করে পাই:

$\cos(\pi/4)\sin\theta + \sin(\pi/4)\cos\theta = 1$

এটি ত্রিকোণমিতিক সূত্র $ \sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B $ এর অনুরূপ। এখানে $A = \theta$ এবং $B = \pi/4$।

সুতরাং, আমরা লিখতে পারি:

$\sin(\theta + \pi/4) = 1$

আমরা জানি যে, $ \sin x = 1 $ হয় যখন $ x = \frac{\pi}{2} + 2n\pi $ (যেখানে $n$ একটি পূর্ণসংখ্যা)।

অতএব,

$\theta + \pi/4 = \pi/2 + 2n\pi$

$\theta = \pi/2 - \pi/4 + 2n\pi$

$\theta = \frac{2\pi - \pi}{4} + 2n\pi$

$\theta = \pi/4 + 2n\pi$

প্রশ্নে $ 0 \le \theta \le \pi/2 $ ব্যবধির মধ্যে $ \theta $ এর মান নির্ণয় করতে বলা হয়েছে।

যদি $n=0$ হয়, তাহলে $ \theta = \pi/4 + 2(0)\pi = \pi/4 $। এই মানটি $ 0 \le \pi/4 \le \pi/2 $ শর্ত পূরণ করে।

যদি $n=1$ হয়, তাহলে $ \theta = \pi/4 + 2\pi = \frac{9\pi}{4} $। এই মানটি $ \pi/2 $ থেকে বড়।

যদি $n=-1$ হয়, তাহলে $ \theta = \pi/4 - 2\pi = -\frac{7\pi}{4} $। এই মানটি $0$ থেকে ছোট।

সুতরাং, প্রদত্ত ব্যবধিতে $ \theta $ এর একমাত্র মান হলো $ \pi/4 $।

Satt AI

2 months ago

MCQ: 329

Practice

বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের মূল সমীকরণ

বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের মূল সমীকরণগুলি ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলির মান থেকে তাদের সংশ্লিষ্ট কোণ বের করার জন্য ব্যবহৃত হয়। প্রতিটি বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের জন্য মূল সমীকরণগুলি হলো:

1. $ \sin^{-1}(x) $ বা $ \arcsin(x) $ এর সমীকরণ:

বিপরীত সাইন ফাংশনের মূল সমীকরণ হল:

\[
\sin^{-1}(x) = \theta \quad \text{যেখানে} \quad \sin(\theta) = x, , \text{এবং} , -1 \leq x \leq 1 , \text{এবং} , -\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}
\]

এটি অর্থাৎ $ \theta $ হলো সেই কোণ, যার সাইন $ x $ সমান।

2. $ \cos^{-1}(x) $ বা $ \arccos(x) $ এর সমীকরণ:

বিপরীত কসমাইন ফাংশনের মূল সমীকরণ হল:

\[
\cos^{-1}(x) = \theta \quad \text{যেখানে} \quad \cos(\theta) = x, , \text{এবং} , -1 \leq x \leq 1 , \text{এবং} , 0 \leq \theta \leq \pi
\]

এটি অর্থাৎ $ \theta $ হলো সেই কোণ, যার কসমাইন $ x $ সমান।

3. $ \tan^{-1}(x) $ বা $ \arctan(x) $ এর সমীকরণ:

বিপরীত ট্যানজেন্ট ফাংশনের মূল সমীকরণ হল:

\[
\tan^{-1}(x) = \theta \quad \text{যেখানে} \quad \tan(\theta) = x, , \text{এবং} , -\infty < x < \infty , \text{এবং} , -\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}
\]

এটি অর্থাৎ $ \theta $ হলো সেই কোণ, যার ট্যানজেন্ট $ x $ সমান।

এই সমীকরণের ব্যাখ্যা:

$ \sin^{-1}(x) $: এটি সেই কোণ $ \theta $ নির্ধারণ করে, যার সাইন $ x $-এর সমান হয়। এখানে $ \theta $-এর মান $ -\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2} $ হতে হবে।
$ \cos^{-1}(x) $: এটি সেই কোণ $ \theta $ নির্ধারণ করে, যার কসমাইন $ x $-এর সমান হয়। এখানে $ \theta $-এর মান $ 0 \leq \theta \leq \pi $ হতে হবে।
$ \tan^{-1}(x) $: এটি সেই কোণ $ \theta $ নির্ধারণ করে, যার ট্যানজেন্ট $ x $-এর সমান হয়। এখানে $ \theta $-এর মান $ -\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2} $ হতে হবে।

এই সমীকরণগুলি ত্রিকোণমিতিক গুণফল থেকে সংশ্লিষ্ট কোণ বের করতে ব্যবহৃত হয় এবং গাণিতিক সমস্যাগুলির সমাধান করার জন্য গুরুত্বপূর্ণ।

Notification

$\sin θ + \cos θ = \sqrt{2}$ হলে, 0 ≤ θ ≤ π/2 ব্যবধিতে θ এর মান কত?

1. \( \sin^{-1}(x) \) বা \( \arcsin(x) \) এর সমীকরণ:

2. \( \cos^{-1}(x) \) বা \( \arccos(x) \) এর সমীকরণ:

3. \( \tan^{-1}(x) \) বা \( \arctan(x) \) এর সমীকরণ:

এই সমীকরণের ব্যাখ্যা:

Related Question

Related Question

Question Analytics

Promotion