sinθ+cosθ=1 হলে θ(0°≤θ≤90°) এর মান কত?

$\sin θ + \cos θ = 1$ হলে $θ (0^{°} \leq θ \leq 90^{°})$ এর মান কত?

Created: 4 years ago | Updated: 10 months ago

Updated: 10 months ago

ক

{0° , 90° }
খ

{30° , 60° }
গ

{45° , 60° }
ঘ

{0° , 60° }

উচ্চতর গণিত বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের মূল সমীকরণ NSTU C Unit - 2012

1.6k

ব্যাখ্যাঃ বিস্তারিত সমাধান: প্রদত্ত সমীকরণটি হলো:

$\sin\theta + \cos\theta = 1$

উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই:

$(\sin\theta + \cos\theta)^2 = 1^2$

$\sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = 1$

আমরা জানি, $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ এবং $2\sin\theta\cos\theta = \sin(2\theta)$। এই মানগুলো সমীকরণে বসিয়ে পাই:

$1 + \sin(2\theta) = 1$

উভয়পক্ষ থেকে $1$ বিয়োগ করে পাই:

$\sin(2\theta) = 0$

প্রশ্নে $\theta$ এর মান $0^\circ \le \theta \le 90^\circ$ সীমার মধ্যে নির্ণয় করতে বলা হয়েছে।

সুতরাং, $2\theta$ এর সীমা হবে $0^\circ \le 2\theta \le 180^\circ$।

$\sin(2\theta) = 0$ হওয়ার জন্য, এই সীমার মধ্যে $2\theta$ এর সম্ভাব্য মানগুলো হলো $0^\circ$ এবং $180^\circ$।

যদি $2\theta = 0^\circ$ হয়,

$\theta = \frac{0^\circ}{2}$

$\theta = 0^\circ$

যদি $2\theta = 180^\circ$ হয়,

$\theta = \frac{180^\circ}{2}$

$\theta = 90^\circ$

সুতরাং, $\theta$ এর নির্ণেয় মানসমূহ হলো $0^\circ$ এবং $90^\circ$।

এই মানগুলো মূল সমীকরণে বসিয়ে যাচাই করা যেতে পারে:

যখন $\theta = 0^\circ$: $\sin(0^\circ) + \cos(0^\circ) = 0 + 1 = 1$। (সঠিক)

যখন $\theta = 90^\circ$: $\sin(90^\circ) + \cos(90^\circ) = 1 + 0 = 1$। (সঠিক)

অতএব, সঠিক উত্তরটি হলো $\{0^\circ, 90^\circ\}$।

💡 শর্টকাট টেকনিক (Option Test):

এই ধরনের সমীকরণে $\theta$ এর মানগুলো সরাসরি অপশন থেকে বসিয়ে যাচাই করে সঠিক উত্তরটি বের করা যেতে পারে।

প্রদত্ত সমীকরণ: $\sin\theta + \cos\theta = 1$

অপশন ১: $\{0^\circ, 90^\circ\}$

$\theta = 0^\circ$ হলে: $\sin(0^\circ) + \cos(0^\circ) = 0 + 1 = 1$। (শর্ত পূরণ করে)
$\theta = 90^\circ$ হলে: $\sin(90^\circ) + \cos(90^\circ) = 1 + 0 = 1$। (শর্ত পূরণ করে)

অপশন ২: $\{30^\circ, 60^\circ\}$

$\theta = 30^\circ$ হলে: $\sin(30^\circ) + \cos(30^\circ) = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1+\sqrt{3}}{2} \ne 1$। (শর্ত পূরণ করে না)

অপশন ৩: $\{45^\circ, 60^\circ\}$

$\theta = 45^\circ$ হলে: $\sin(45^\circ) + \cos(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \ne 1$। (শর্ত পূরণ করে না)

অপশন ৪: $\{0^\circ, 60^\circ\}$

$\theta = 60^\circ$ হলে: $\sin(60^\circ) + \cos(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} = \frac{1+\sqrt{3}}{2} \ne 1$। (শর্ত পূরণ করে না)

সুতরাং, অপশনগুলো যাচাই করে দেখা যায় যে $\theta = 0^\circ$ এবং $\theta = 90^\circ$ মূল সমীকরণকে সিদ্ধ করে। তাই সঠিক উত্তরটি হলো $\{0^\circ, 90^\circ\}$।

Satt AI

3 months ago

MCQ: 360

Practice

বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের মূল সমীকরণ

বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের মূল সমীকরণগুলি ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলির মান থেকে তাদের সংশ্লিষ্ট কোণ বের করার জন্য ব্যবহৃত হয়। প্রতিটি বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের জন্য মূল সমীকরণগুলি হলো:

1. $ \sin^{-1}(x) $ বা $ \arcsin(x) $ এর সমীকরণ:

বিপরীত সাইন ফাংশনের মূল সমীকরণ হল:

\[
\sin^{-1}(x) = \theta \quad \text{যেখানে} \quad \sin(\theta) = x, , \text{এবং} , -1 \leq x \leq 1 , \text{এবং} , -\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}
\]

এটি অর্থাৎ $ \theta $ হলো সেই কোণ, যার সাইন $ x $ সমান।

2. $ \cos^{-1}(x) $ বা $ \arccos(x) $ এর সমীকরণ:

বিপরীত কসমাইন ফাংশনের মূল সমীকরণ হল:

\[
\cos^{-1}(x) = \theta \quad \text{যেখানে} \quad \cos(\theta) = x, , \text{এবং} , -1 \leq x \leq 1 , \text{এবং} , 0 \leq \theta \leq \pi
\]

এটি অর্থাৎ $ \theta $ হলো সেই কোণ, যার কসমাইন $ x $ সমান।

3. $ \tan^{-1}(x) $ বা $ \arctan(x) $ এর সমীকরণ:

বিপরীত ট্যানজেন্ট ফাংশনের মূল সমীকরণ হল:

\[
\tan^{-1}(x) = \theta \quad \text{যেখানে} \quad \tan(\theta) = x, , \text{এবং} , -\infty < x < \infty , \text{এবং} , -\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}
\]

এটি অর্থাৎ $ \theta $ হলো সেই কোণ, যার ট্যানজেন্ট $ x $ সমান।

এই সমীকরণের ব্যাখ্যা:

$ \sin^{-1}(x) $: এটি সেই কোণ $ \theta $ নির্ধারণ করে, যার সাইন $ x $-এর সমান হয়। এখানে $ \theta $-এর মান $ -\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2} $ হতে হবে।
$ \cos^{-1}(x) $: এটি সেই কোণ $ \theta $ নির্ধারণ করে, যার কসমাইন $ x $-এর সমান হয়। এখানে $ \theta $-এর মান $ 0 \leq \theta \leq \pi $ হতে হবে।
$ \tan^{-1}(x) $: এটি সেই কোণ $ \theta $ নির্ধারণ করে, যার ট্যানজেন্ট $ x $-এর সমান হয়। এখানে $ \theta $-এর মান $ -\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2} $ হতে হবে।

এই সমীকরণগুলি ত্রিকোণমিতিক গুণফল থেকে সংশ্লিষ্ট কোণ বের করতে ব্যবহৃত হয় এবং গাণিতিক সমস্যাগুলির সমাধান করার জন্য গুরুত্বপূর্ণ।

Notification

$\sin θ + \cos θ = 1$ হলে $θ (0^{°} \leq θ \leq 90^{°})$ এর মান কত?

1. \( \sin^{-1}(x) \) বা \( \arcsin(x) \) এর সমীকরণ:

2. \( \cos^{-1}(x) \) বা \( \arccos(x) \) এর সমীকরণ:

3. \( \tan^{-1}(x) \) বা \( \arctan(x) \) এর সমীকরণ:

এই সমীকরণের ব্যাখ্যা:

Related Question

Related Question

Question Analytics

Promotion