sinθ+cosθ=1 হলে θ(0°≤θ≤90°) এর মান কত?

$\sin θ + \cos θ = 1$ হলে $θ (0^{°} \leq θ \leq 90^{°})$ এর মান কত?

Created: 4 years ago | Updated: 9 months ago

Updated: 9 months ago

ক

{0° , 90° }
খ

{30° , 60° }
গ

{45° , 60° }
ঘ

{0° , 60° }

1.5k

ব্যাখ্যাঃ বিস্তারিত সমাধান: প্রদত্ত সমীকরণটি হলো:

$\sin\theta + \cos\theta = 1$

উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই:

$(\sin\theta + \cos\theta)^2 = 1^2$

$\sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = 1$

আমরা জানি, $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ এবং $2\sin\theta\cos\theta = \sin(2\theta)$। এই মানগুলো সমীকরণে বসিয়ে পাই:

$1 + \sin(2\theta) = 1$

উভয়পক্ষ থেকে $1$ বিয়োগ করে পাই:

$\sin(2\theta) = 0$

প্রশ্নে $\theta$ এর মান $0^\circ \le \theta \le 90^\circ$ সীমার মধ্যে নির্ণয় করতে বলা হয়েছে।

সুতরাং, $2\theta$ এর সীমা হবে $0^\circ \le 2\theta \le 180^\circ$।

$\sin(2\theta) = 0$ হওয়ার জন্য, এই সীমার মধ্যে $2\theta$ এর সম্ভাব্য মানগুলো হলো $0^\circ$ এবং $180^\circ$।

যদি $2\theta = 0^\circ$ হয়,

$\theta = \frac{0^\circ}{2}$

$\theta = 0^\circ$

যদি $2\theta = 180^\circ$ হয়,

$\theta = \frac{180^\circ}{2}$

$\theta = 90^\circ$

সুতরাং, $\theta$ এর নির্ণেয় মানসমূহ হলো $0^\circ$ এবং $90^\circ$।

এই মানগুলো মূল সমীকরণে বসিয়ে যাচাই করা যেতে পারে:

যখন $\theta = 0^\circ$: $\sin(0^\circ) + \cos(0^\circ) = 0 + 1 = 1$। (সঠিক)

যখন $\theta = 90^\circ$: $\sin(90^\circ) + \cos(90^\circ) = 1 + 0 = 1$। (সঠিক)

অতএব, সঠিক উত্তরটি হলো $\{0^\circ, 90^\circ\}$।

💡 শর্টকাট টেকনিক (Option Test):

এই ধরনের সমীকরণে $\theta$ এর মানগুলো সরাসরি অপশন থেকে বসিয়ে যাচাই করে সঠিক উত্তরটি বের করা যেতে পারে।

প্রদত্ত সমীকরণ: $\sin\theta + \cos\theta = 1$

অপশন ১: $\{0^\circ, 90^\circ\}$

$\theta = 0^\circ$ হলে: $\sin(0^\circ) + \cos(0^\circ) = 0 + 1 = 1$। (শর্ত পূরণ করে)
$\theta = 90^\circ$ হলে: $\sin(90^\circ) + \cos(90^\circ) = 1 + 0 = 1$। (শর্ত পূরণ করে)

অপশন ২: $\{30^\circ, 60^\circ\}$

$\theta = 30^\circ$ হলে: $\sin(30^\circ) + \cos(30^\circ) = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1+\sqrt{3}}{2} \ne 1$। (শর্ত পূরণ করে না)

অপশন ৩: $\{45^\circ, 60^\circ\}$

$\theta = 45^\circ$ হলে: $\sin(45^\circ) + \cos(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \ne 1$। (শর্ত পূরণ করে না)

অপশন ৪: $\{0^\circ, 60^\circ\}$

$\theta = 60^\circ$ হলে: $\sin(60^\circ) + \cos(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} = \frac{1+\sqrt{3}}{2} \ne 1$। (শর্ত পূরণ করে না)

সুতরাং, অপশনগুলো যাচাই করে দেখা যায় যে $\theta = 0^\circ$ এবং $\theta = 90^\circ$ মূল সমীকরণকে সিদ্ধ করে। তাই সঠিক উত্তরটি হলো $\{0^\circ, 90^\circ\}$।