$\sin \theta +\cos \theta =1$ হলে $\theta (0^{°}\le \theta \le {90}^{°})$ এর মান কত?

\(\sin\theta + \cos\theta = 1\)

উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই:

\((\sin\theta + \cos\theta)^2 = 1^2\)

\(\sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = 1\)

আমরা জানি, \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\) এবং \(2\sin\theta\cos\theta = \sin(2\theta)\)। এই মানগুলো সমীকরণে বসিয়ে পাই:

\(1 + \sin(2\theta) = 1\)

উভয়পক্ষ থেকে \(1\) বিয়োগ করে পাই:

\(\sin(2\theta) = 0\)

প্রশ্নে \(\theta\) এর মান \(0^\circ \le \theta \le 90^\circ\) সীমার মধ্যে নির্ণয় করতে বলা হয়েছে।

সুতরাং, \(2\theta\) এর সীমা হবে \(0^\circ \le 2\theta \le 180^\circ\)।

\(\sin(2\theta) = 0\) হওয়ার জন্য, এই সীমার মধ্যে \(2\theta\) এর সম্ভাব্য মানগুলো হলো \(0^\circ\) এবং \(180^\circ\)।

যদি \(2\theta = 0^\circ\) হয়,

\(\theta = \frac{0^\circ}{2}\)

\(\theta = 0^\circ\)

যদি \(2\theta = 180^\circ\) হয়,

\(\theta = \frac{180^\circ}{2}\)

\(\theta = 90^\circ\)

সুতরাং, \(\theta\) এর নির্ণেয় মানসমূহ হলো \(0^\circ\) এবং \(90^\circ\)।

এই মানগুলো মূল সমীকরণে বসিয়ে যাচাই করা যেতে পারে:

যখন \(\theta = 0^\circ\): \(\sin(0^\circ) + \cos(0^\circ) = 0 + 1 = 1\)। (সঠিক)

যখন \(\theta = 90^\circ\): \(\sin(90^\circ) + \cos(90^\circ) = 1 + 0 = 1\)। (সঠিক)

অতএব, সঠিক উত্তরটি হলো \(\{0^\circ, 90^\circ\}\)।

এই ধরনের সমীকরণে \(\theta\) এর মানগুলো সরাসরি অপশন থেকে বসিয়ে যাচাই করে সঠিক উত্তরটি বের করা যেতে পারে।

প্রদত্ত সমীকরণ: \(\sin\theta + \cos\theta = 1\)

    
• অপশন ১: \(\{0^\circ, 90^\circ\}\)
    
        
• \(\theta = 0^\circ\) হলে: \(\sin(0^\circ) + \cos(0^\circ) = 0 + 1 = 1\)। (শর্ত পূরণ করে)
        
• \(\theta = 90^\circ\) হলে: \(\sin(90^\circ) + \cos(90^\circ) = 1 + 0 = 1\)। (শর্ত পূরণ করে)
    
    
• অপশন ২: \(\{30^\circ, 60^\circ\}\)
    
        
• \(\theta = 30^\circ\) হলে: \(\sin(30^\circ) + \cos(30^\circ) = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1+\sqrt{3}}{2} \ne 1\)। (শর্ত পূরণ করে না)
    
    
• অপশন ৩: \(\{45^\circ, 60^\circ\}\)
    
        
• \(\theta = 45^\circ\) হলে: \(\sin(45^\circ) + \cos(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \ne 1\)। (শর্ত পূরণ করে না)
    
    
• অপশন ৪: \(\{0^\circ, 60^\circ\}\)
    
        
• \(\theta = 60^\circ\) হলে: \(\sin(60^\circ) + \cos(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} = \frac{1+\sqrt{3}}{2} \ne 1\)। (শর্ত পূরণ করে না)
    

সুতরাং, অপশনগুলো যাচাই করে দেখা যায় যে \(\theta = 0^\circ\) এবং \(\theta = 90^\circ\) মূল সমীকরণকে সিদ্ধ করে। তাই সঠিক উত্তরটি হলো \(\{0^\circ, 90^\circ\}\)।