$\sin \theta =\sin \alpha$ হলে-

আমরা জানি, \(\sin\theta = \sin\alpha\) আকারের সমীকরণের সাধারণ সমাধান হলো:

    \(\theta = n\pi + (-1)^n\alpha\), যেখানে \(n \in \mathbb{Z}\) (অর্থাৎ, \(n\) যেকোনো পূর্ণসংখ্যা)।

এই সমাধানটি নিম্নলিখিত উপায়ে পাওয়া যায়:

    দেওয়া আছে, \(\sin\theta = \sin\alpha\)     
বা, \(\sin\theta - \sin\alpha = 0\)

আমরা \(\sin C - \sin D = 2\cos\left(\frac{C+D}{2}\right)\sin\left(\frac{C-D}{2}\right)\) সূত্রটি প্রয়োগ করে পাই:

    \(2\cos\left(\frac{\theta+\alpha}{2}\right)\sin\left(\frac{\theta-\alpha}{2}\right) = 0\)

এখান থেকে দুটি শর্ত পাওয়া যায়:

    ক্ষেত্র ১: \(\sin\left(\frac{\theta-\alpha}{2}\right) = 0\)     
আমরা জানি, \(\sin x = 0\) হলে \(x = n\pi\), যেখানে \(n\) একটি পূর্ণসংখ্যা।     
সুতরাং, \(\frac{\theta-\alpha}{2} = n\pi\)     
বা, \(\theta-\alpha = 2n\pi\)     
বা, \(\theta = 2n\pi + \alpha\)

    ক্ষেত্র ২: \(\cos\left(\frac{\theta+\alpha}{2}\right) = 0\)     
আমরা জানি, \(\cos x = 0\) হলে \(x = (2n+1)\frac{\pi}{2}\), যেখানে \(n\) একটি পূর্ণসংখ্যা।     
সুতরাং, \(\frac{\theta+\alpha}{2} = (2n+1)\frac{\pi}{2}\)     
বা, \(\theta+\alpha = (2n+1)\pi\)     
বা, \(\theta = (2n+1)\pi - \alpha\)

এখন, এই দুটি ক্ষেত্রকে একত্রিত করলে আমরা সাধারণ সমাধান পাই:

    
• যদি \(n\) জোড় সংখ্যা হয় (যেমন \(n=2k\)), তবে \(\theta = 2k\pi + \alpha\)। এটিকে \(\theta = 2k\pi + (-1)^{2k}\alpha\) হিসেবে লেখা যায়।
    
• যদি \(n\) বিজোড় সংখ্যা হয় (যেমন \(n=2k+1\)), তবে \(\theta = (2k+1)\pi - \alpha\)। এটিকে \(\theta = (2k+1)\pi + (-1)^{2k+1}\alpha\) হিসেবে লেখা যায়।

এই দুটি রূপকে একত্রে প্রকাশ করা হয় \(\theta = n\pi + (-1)^n\alpha\) দ্বারা।

সুতরাং, প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে, প্রথম অপশনটি সঠিক।

অন্যান্য অপশনগুলো ভুল কারণ:

    
• অপশন 2: \(\theta = 2n\pi + (-1)^n\alpha\) - এটি কেবলমাত্র জোড় গুণিতক \(\pi\) এর ক্ষেত্রে বিবেচনা করে, যা পূর্ণাঙ্গ সমাধান নয়।
    
• অপশন 3: \(\theta = n\pi + (-1)^{2n}\alpha\) - এখানে \( (-1)^{2n} = 1 \) হওয়ায়, এটি \(\theta = n\pi + \alpha\) হয়ে যায়, যা বিজোড় গুণিতক \(\pi\) এর ক্ষেত্রে ভুল।
    
• অপশন 4: \(\theta = (2n+10)\pi\alpha\) - এটি সম্পূর্ণ ভুল সূত্র।