The perimeter of a rectangle is 26 cm. The rectangle is converted to a square by tripling the width and taking a quarter of the length. What is the perimeter of the resulting square?

আয়ত : যে সামান্তরিকের একটি কোণ সমকোণ, তাই আয়ত। আয়তের চারটি কোণ সমকোণ। আয়তের সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রকে আয়তক্ষেত্র বলে।

আয়ত (Rectangle)

যে চতুর্ভুজের চারটি কোণই সমকোণ এবং বিপরীত বাহুদ্বয় সমান ও সমান্তরাল তাকে আয়ত বলে।

চিত্রের ধারণা

ধরি, ABCD একটি আয়ত।

তাহলে,

• AB ∥ CD
• BC ∥ AD
• AB = CD
• BC = AD
• প্রতিটি কোণ 90°

আয়তের বৈশিষ্ট্য

• চারটি কোণই সমকোণ হয়
• বিপরীত বাহুদ্বয় সমান ও সমান্তরাল হয়
• কর্ণদ্বয় সমান হয়
• কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে
• প্রতিটি কর্ণ আয়তকে দুটি সর্বসম সমকোণী ত্রিভুজে বিভক্ত করে

কর্ণের সম্পর্ক

যদি AC ও BD আয়তের দুটি কর্ণ হয়, তবে

$\mathrm{AC}=\mathrm{BD}$

এবং কর্ণদ্বয় O বিন্দুতে ছেদ করলে,

$\mathrm{AO}=\mathrm{OC}$

এবং

$\mathrm{BO}=\mathrm{OD}$

আয়তের পরিসীমা

আয়তের পরিসীমা =

২ (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)

অর্থাৎ,

$P=2(l+w)$

আয়তের ক্ষেত্রফল

আয়তের ক্ষেত্রফল =

দৈর্ঘ্য $\times$ প্রস্থ

অর্থাৎ,

$A=lw$

যেখানে,

• l = দৈর্ঘ্য
• w = প্রস্থ

পিথাগোরাসের উপপাদ্যের সাহায্যে কর্ণ নির্ণয়

আয়তের কর্ণ নির্ণয়ে পিথাগোরাসের উপপাদ্য ব্যবহার করা হয়।

$d^2=l^2+w^2$

অতএব,

$d=\sqrt{l^2+w^2}$

উদাহরণ ১

একটি আয়তের দৈর্ঘ্য 10 সেমি এবং প্রস্থ 6 সেমি হলে ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধান:

$A=lw$

এখানে,

$l=10$

এবং

$w=6$

সুতরাং,

$A=10\times 6=60$

অতএব, ক্ষেত্রফল 60 বর্গ সেমি।

উদাহরণ ২

একটি আয়তের দৈর্ঘ্য 8 সেমি এবং প্রস্থ 6 সেমি হলে কর্ণের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

সমাধান:

$d^2=8^2+6^2$$d^2=64+36=100$

অতএব,

$d=10$

সুতরাং কর্ণের দৈর্ঘ্য 10 সেমি।

আয়ত নির্ণয়ের শর্ত

• যদি একটি সামান্তরিকের একটি কোণ 90° হয়, তবে সেটি আয়ত
• যদি একটি সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় সমান হয়, তবে সেটি আয়ত
• যদি চারটি কোণই সমকোণ হয়, তবে সেটি আয়ত

বাস্তব জীবনে ব্যবহার

• দরজা, জানালা ও বইয়ের আকৃতি
• টেবিল, মোবাইল ও টিভি স্ক্রিন ডিজাইন
• স্থাপত্য ও প্রকৌশল কাজে
• জমির নকশা ও কক্ষ পরিকল্পনায়