The population of a village was 3600 three years back. It is 4800 right now. What will be the population three years down the line, if the rate of growth of population has been constant over the years and has been compounding annually?

চক্রবৃদ্ধি মুনাফার ক্ষেত্রে প্রত্যেক বছরের শেষে মূলধনের সাথে মুনাফা যোগ হয়ে নতুন মূলধন হয়। যদি কোনো আমানতকারী ব্যাংকে ১০০০ টাকা জমা রাখেন এবং ব্যাংক তাঁকে বার্ষিক ১২% মুনাফা দেয়, তবে আমানতকারী বছরান্তে ১০০০ টাকার ওপর মুনাফা পাবেন।

১০০০ টাকার ১২% বা ১০০০ এর $\frac{১২}{১০০}$টাকা

= ১২০ টাকা।

তখন, ২য় বছরের জন্য তার মূলধন হবে (১০০০ + ১২০) টাকা, বা ১১২০ টাকা, যা তাঁর চক্রবৃদ্ধি মূলধন। ২য় বছরান্তে ১১২০ টাকার ওপর ১২% মুনাফা দেওয়া হবে।

= $\frac{৬৭২}{৫}$টাকা

= ১৩৪.৪০ টাকা

.:. ৩য় বছরের জন্য আমানতকারীর চক্রবৃদ্ধি মূলধন হবে (১১২০ + ১৩৪.৪০) টাকা

= ১২৫৪.৪০ টাকা।

এভাবে প্রতি বছরান্তে ব্যাংকে আমানতকারীর মূলধন বাড়তে থাকবে। এই বৃদ্ধিপ্রাপ্ত মূলধনকে বলা হয় চক্রবৃদ্ধি মূলধন বা চক্রবৃদ্ধি মূল। আর প্রতি বছর বৃদ্ধিপ্রাপ্ত মূলধনের ওপর যে মুনাফা হিসাব করা হয়, একে বলে চক্রবৃদ্ধি মুনাফা। তবে এ মুনাফা নির্ণয় তিন মাস, ছয় মাস বা এর চেয়ে কম সময়ের জন্যও হতে পারে।

চক্রবৃদ্ধি মূলধন ও মুনাফার সূত্র গঠন :

ধরা যাক, প্রারম্ভিক মূলধন বা আসল P এবং বার্ষিক মুনাফার হার r
$\therefore$১ম বছরান্তে চক্রবৃদ্ধি মূলধন = আসল + মুনাফা

= P + P x r
= P (1 + r)

২য় বছরান্তে চক্রবৃদ্ধি মূলধন = ১ম বছরের চক্রবৃদ্ধি মূলধন + মুনাফা
= P (1+ r) + P (1 + r) × r
= P (1 + r ) (1 + r)
= $P {(1+r)}^2$

৩য় বছরান্তে চক্রবৃদ্ধি মূলধন = ২য় বছরের চক্রবৃদ্ধি মূলধন + মুনাফা

= $P{(1+r)}^2 + P{(1+r)}^2\times r$

= $P{(1+r)}^2 (1+r)$

= $P{(1+r)}^3$

লক্ষ করি : ১ম বছরান্তে চক্রবৃদ্ধি মূলধনে (1+ r) এর সূচক 1

$\therefore$n বছরান্তে চক্রবৃদ্ধি মূলধনে হবে (1+r) এর সূচক n
$\therefore$n বছরান্তে চক্রবৃদ্ধি মূলধন C হলে, $C=P{(1+r)}^n$

আবার, চক্রবৃদ্ধি মুনাফা = চক্রবৃদ্ধি মূলধন - প্রারম্ভিক মূলধন = $P{(1+r)}^n$

এখন, চক্রবৃদ্ধি মুনাফা সম্পর্কে আলোচনার শুরুতে যে মূলধন ১০০০ টাকা এবং মুনাফা ১২% ধরা হয়েছিল, সেখানে চক্রবৃদ্ধি মূলধনের সূত্র প্রয়োগ করি :

১ম বছরান্তে চক্রবৃদ্ধি মূলধন $= P(1+r)$

$=১০০০\times \left(১+\frac{১২}{১০০}\right)$ টাকা

$=১০০০\times (১ + ০.১২)$ টাকা

$=১০০০\times ১.১২$ টাকা

$=১১২০$

২য় বছরান্তে চক্রবৃদ্ধি মূলধন $=P{(1+r)}^{২}$

$=১০০০\times {\left(১+\frac{১২}{১০০}\right)}^{২}$ টাকা

$=১০০০\times {(১+০.১২)}^{২}$ টাকা

$=১০০০\times {(১.১২)}^{২}$ টাকা

$=১০০০\times ১.২৫৪৪$ টাকা

$=১২৫৪.৪০$ টাকা

৩য় বছরান্তে চক্রবৃদ্ধি মূলধন $=P{(1+r)}^{৩}$

$=১০০০\times {\left(১+\frac{১২}{১০০}\right)}^{৩}$ টাকা

$=১০০০\times {(১+০.১২)}^{৩}$ টাকা

$=১০০০\times {(১.১২)}^{৩}$ টাকা

$=১০০০\times ১.৪০৪৯২৮$টাকা

$=১৪০৪.৯৩$ টাকা

উদাহরণ ১। বার্ষিক শতকরা ৮ টাকা মুনাফায় ৬২৫০০ টাকার ৩ বছরের চক্রবৃদ্ধি মূলধন নির্ণয় কর। $C=P{(১+r)}^n$

সমাধান : আমরা জানি, $C=P{(১+r)}^n$
দেওয়া আছে, প্রারম্ভিক মূলধন, P = ৬২৫০০ টাকা
বার্ষিক মুনাফার হার, r = ৮%
এবং সময় n = ৩ বছর

$=৬২৫০০\times {(১.০৮)}^{৩}$ টাকা

$=৬২৫০০\times ১.২৫৯৭১২$ টাকা

$=৭৮৭৩২$ টাকা

$\therefore$চক্রবৃদ্ধি মূলধন ৭৮৭৩২ টাকা।

উদাহরণ ২। বার্ষিক ১০.৫০% মুনাফায় ৫০০০ টাকার ২ বছরের চক্রবৃদ্ধি মুনাফা নির্ণয় কর।

সমাধান : চক্রবৃদ্ধি মুনাফা নির্ণয়ের জন্য প্রথমে চক্রবৃদ্ধি মূলধন নির্ণয় করি।

আমরা জানি, চক্রবৃদ্ধি মূলধন $C=P{(১ r)}^n,$ যেখানে মূলধন $P=৫০০০$ টাকা,

মুনাফার হার $r=১০.৫০\%=\frac{২১}{২০০}$

সময়, n = ২ বছর

$\therefore C=P{(1+r)}^{২}$

$=৫০০০\times \left(১+\frac{২১}{২০০}\right)$ টাকা

$=৫০০০\times {\left(\frac{২২১}{২০০}\right)}^{২}$ টাকা

$=\frac{৪৮৮৪১}{৮}$ টাকা বা ৬১০৫.১৩ টাকা (প্রায়)

$\therefore$চক্রবৃদ্ধি মুনাফা $=C-P=P{(১ + r)}^{২}-P$

$=(৬১০৫.১৩-৫০০০)$ টাকা

$=১১০৫.১৩$ টাকা

উদাহরণ ৩। একটি ফ্ল্যাট মালিক কল্যাণ সমিতি আদায়কৃত সার্ভিস চার্জ থেকে উদ্বৃত্ত ২০০০০০ টাকা ব্যাংকে ছয় মাস অন্তর চক্রবৃদ্ধি মুনাফাভিত্তিক স্থায়ী আমানত রাখলেন। মুনাফার হার বার্ষিক ১২ টাকা হলে, ছয় মাস পর ঐ সমিতির হিসাবে কত টাকা মুনাফা জমা হবে ? এক বছর পর চক্রবৃদ্ধি মূলধন কত হবে?

সমাধান : দেওয়া আছে, মূলধন p = ২০০০০০ টাকা,

মুনাফার হার $r=১২\%$ সময় $n=৬$ মাস বা $\frac{১}{২}$ বছর

$\therefore$মুনাফা $I=Prn$

= ১২০০০ টাকা

$\therefore$৬ মাস পর মুনাফা হবে ১২০০০টাকা

১ম ছয় মাস পর চক্রবৃদ্ধিমূল = (২০০০০০+১২০০০) টাকা

= ২১২০০০ টাকা

আবার, পরবর্তী ছয় মাসের মুনাফা-আসল $=২১২০০০ \left(১+\frac{১২}{১০০}\times \frac{১}{২}\right)$ টাকা

$=২১২০০০\times ১.০৬$ টাকা

$=২২৪৭২০$

১ বছর পর চক্রবৃদ্ধি মূলধন হবে ২২৪৭২০ টাকা।

উদাহরণ ৪ । কোনো শহরের বর্তমান জনসংখ্যা ৮০ লক্ষ । ঐ শহরের জনসংখ্যা বৃদ্ধির হার প্রতি হাজারে ৩০ হলে, ৩ বছর পর ঐ শহরের জনসংখ্যা কত হবে?

সমাধান : শহরটির বর্তমান জনসংখ্যা, $P=৮০০০০০০$

জনসংখ্যা বৃদ্ধির হার, $r=\frac{৩০}{১০০০}X ১০০\%=৩\%$

সময়, n = ৩ বছর।

এখানে জনসংখ্যা বৃদ্ধির ক্ষেত্রে চক্রবৃদ্ধি মূলধনের সূত্র প্রযোজ্য।

$\therefore C=P{(1+r)}^n$

$=৮০,০০,০০০\times {\left(১+\frac{৩}{১০০}\right)}^{৩}$ জন

$=৮০,০০,০০০\times \frac{১০৩}{১০০}\times \frac{১০৩}{১০০}\times \frac{১০৩}{১০০}$ জন

$=৮\times ১০৩\times ১০৩\times ১০৩$ জন

$=৮৭৪১৮১৬$ জন

$\therefore$৩ বছর পর শহরটির জনসংখ্যা হবে ৮৭,৪১,৮১৬ জন

উদাহরণ ৫। মনোয়ারা বেগম তার পারিবারিক প্রয়োজনে ৬% হারে x টাকা এবং ৪% হারে y টাকা ঋণ নিল। সে মোট ৫৬০০০ টাকা ঋণ নিল এবং বছর শেষে ২৮৪০ টাকা মুনাফা শোধ করল।

ক. সম্পূর্ণ ঋণের উপর ৫% মুনাফা প্রযোজ্য হলে বার্ষিক মুনাফা কত?
খ. x এবং y এর মান নির্ণয় কর।
গ. সম্পূর্ণ ঋণের উপর ৫% চক্রবৃদ্ধি মুনাফা প্রযোজ্য হলে ২ বছর পর মনোয়ারা বেগমকে কত টাকা মুনাফা পরিশোধ করতে হবে?

সমাধান : (ক) মোট ঋণের পরিমান, P = ৫৬০০০ টাকা

মুনাফার হার r = ৫%

সময় n = ১ বছর

এখন মুনাফা $I=Pnr$

$\therefore$নির্ণেয় বার্ষিক মুনাফা ২৮০০ টাকা

(খ) ৬% হার মুনাফায় x টাকার বার্ষিক মুনাফা $=\left(x\times ১\times \frac{৬}{১০০}\right)$ টাকা

$=\frac{\mathrm{৬x}}{\mathrm{১০০}}$ টাকা

আবার ৪% হার মুনাফায় y টাকার বার্ষিক মুনাফা $=\left(y\times ১\times \frac{৪}{১০০}\right)$ টাকা

$=\frac{৪y}{১০০}$ টাকা

এখন উদ্দীপকের তথ্যানুসারে $x+y=৫৬০০০......\left(i\right)$

এবং $\frac{৬x}{১০০}+\frac{৪y}{১০০}=২৮৪০$

বা $৬x+৪y=২৮৪০০০$

বা $৩x+২y=১৪২০০০$

y এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই x=৩০,০০০

$\therefore$X = ৩০,০০০ এবং y = ২৬,০০০

(গ) মনোয়ারার ঋণের পরিমান P = ৫৬,০০০ টাকা

মুনাফার হার r = ৫%

সময় n = ২ বছর

এখন, চক্রবৃদ্ধির ক্ষেত্রে সবৃদ্ধিমূল $=P{\left(১+r\right)}^n$

$\therefore$২ বছর পর মনোয়ারার ঋণের সবৃদ্ধিমূল $=৫৬০০০{\left(১+\frac{৫}{১০০}\right)}^{২}$ টাকা

$=৫৬০০০\times {\left(১+.০৫\right)}^{২}$ টাকা

$=৫৬০০০\times {\left(১.০৫\right)}^{২}$ টাকা

$=৬১৭৪০$ টাকা

মনোয়ারা মুনাফা পরিশোধ করবেন (৬১৭৪০-৫৬০০০) টাকা

$=৫৭৪০$ টাকা