Two trains A and B start simultaneously from stations X and Y towards each other respectively. After meeting at a point between X and Y, train A reaches station Y in 9 hours and train B reaches station X in 4 hours from the time they have met each other. If the speed of train A is 36km / hr what is the speed of train B?

ব্যাখ্যাঃ

ধরি, ট্রেন A এর গতিবেগ \(S_A\) এবং ট্রেন B এর গতিবেগ \(S_B\)।

ধরি, ট্রেন দুটি \(t\) সময় পর পরস্পর মিলিত হয়।

ট্রেন A স্টেশন X থেকে যাত্রা শুরু করে এবং ট্রেন B স্টেশন Y থেকে যাত্রা শুরু করে। তারা একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে (ধরি M) মিলিত হয়।

মিলিত হওয়ার পূর্বে:

ট্রেন A, \(t\) সময়ে X থেকে M পর্যন্ত দূরত্ব অতিক্রম করে। ধরি এই দূরত্ব \(d_{XM}\)।

তাহলে, \(d_{XM} = S_A \times t \)...(i)

ট্রেন B, \(t\) সময়ে Y থেকে M পর্যন্ত দূরত্ব অতিক্রম করে। ধরি এই দূরত্ব \(d_{YM}\)।

তাহলে, \(d_{YM} = S_B \times t \)...(ii)

মিলিত হওয়ার পরে:

মিলিত হওয়ার পর, ট্রেন A M থেকে Y পর্যন্ত দূরত্ব (\(d_{YM}\)) অতিক্রম করতে 9 ঘণ্টা সময় নেয়।

তাহলে, \(d_{YM} = S_A \times 9 \)...(iii)

মিলিত হওয়ার পর, ট্রেন B M থেকে X পর্যন্ত দূরত্ব (\(d_{XM}\)) অতিক্রম করতে 4 ঘণ্টা সময় নেয়।

তাহলে, \(d_{XM} = S_B \times 4 \)...(iv)

এখন, (i) এবং (iv) সমীকরণ থেকে পাই:

\(S_A \times t = S_B \times 4\)

\(t = \frac{4 S_B}{S_A}\) ...(v)

আবার, (ii) এবং (iii) সমীকরণ থেকে পাই:

\(S_B \times t = S_A \times 9\)

\(t = \frac{9 S_A}{S_B}\) ...(vi)

(v) এবং (vi) সমীকরণের \(t\) এর মান সমান করে পাই:

\[\frac{4 S_B}{S_A} = \frac{9 S_A}{S_B}\]

আড়াআড়ি গুণ করে পাই:

\[4 S_B^2 = 9 S_A^2\] \[\frac{S_B^2}{S_A^2} = \frac{9}{4}\] \[\left(\frac{S_B}{S_A}\right)^2 = \left(\frac{3}{2}\right)^2\] \[\frac{S_B}{S_A} = \frac{3}{2}\] \[S_B = \frac{3}{2} S_A\]

প্রশ্নে দেওয়া আছে, ট্রেন A এর গতিবেগ (\(S_A\)) = 36 কিমি/ঘণ্টা।

তাহলে, ট্রেন B এর গতিবেগ (\(S_B\)):

\[S_B = \frac{3}{2} \times 36\] \[S_B = 3 \times 18\] \[S_B = 54 \text{ কিমি/ঘণ্টা}\]

💡 শর্টকাট টেকনিক:

যখন দুটি ট্রেন দুটি ভিন্ন স্টেশন থেকে একই সময়ে একে অপরের দিকে যাত্রা শুরু করে এবং একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে মিলিত হওয়ার পর প্রথম ট্রেনটি তার গন্তব্যে পৌঁছাতে \(t_1\) সময় এবং দ্বিতীয় ট্রেনটি তার গন্তব্যে পৌঁছাতে \(t_2\) সময় নেয়, তখন তাদের গতিবেগের অনুপাত হয়:

\[\frac{\text{প্রথম ট্রেনের গতিবেগ}}{\text{দ্বিতীয় ট্রেনের গতিবেগ}} = \sqrt{\frac{t_2}{t_1}}\]

এখানে,

    
• ট্রেন A এর গতিবেগ \(S_A\) = 36 কিমি/ঘণ্টা
    
• ট্রেন B এর গতিবেগ \(S_B\) = ?
    
• ট্রেন A মিলিত হওয়ার পর গন্তব্যে পৌঁছাতে সময় নেয় (\(t_1\)) = 9 ঘণ্টা
    
• ট্রেন B মিলিত হওয়ার পর গন্তব্যে পৌঁছাতে সময় নেয় (\(t_2\)) = 4 ঘণ্টা

সূত্র প্রয়োগ করে পাই:

\[\frac{S_A}{S_B} = \sqrt{\frac{4}{9}}\] \[\frac{S_A}{S_B} = \frac{2}{3}\]

মান বসিয়ে পাই:

\[\frac{36}{S_B} = \frac{2}{3}\] \[2 \times S_B = 36 \times 3\] \[S_B = \frac{36 \times 3}{2}\] \[S_B = 18 \times 3\] \[S_B = 54 \text{ কিমি/ঘণ্টা}\]