What is the probability that the product of two integers ( not necessarily different integers ) randomly selected from the numbers 1 through 20, inclusive , is odd ?

সম্ভাব্যতা (Probability)

কোনো একটি নির্দিষ্ট ঘটনা ঘটার সম্ভাবনাকে সম্ভাব্যতা বলে। এটি একটি সরল অনুপাত।

দৈব পরীক্ষা (Random Experiment)

যখন কোনো পরীক্ষার সম্ভাব্য সকল ফলাফল আগে থেকে জানা থাকে কিন্তু পরীক্ষাটিতে কোনো একটা নির্দিষ্ট চেষ্টায় কি ফলাফল আসবে তা নিশ্চিত করে বলা যায় না, একে দৈব পরীক্ষা বলে।

যেমন- একটা মুদ্রা নিক্ষেপ পরীক্ষার সম্ভাব্য ফলাফল (H, T) হবে, তা আমরা আগে থেকেই জানি কিন্তু মুদ্রাটি নিক্ষেপের পূর্বে কোন ফলাফলটি ঘটবে তা আমরা নিশ্চিত করে বলতে পারি না। সুতরাং মুদ্রা নিক্ষেপ একটা দৈব পরীক্ষা।

ঘটনা (Event)

কোনো পরীক্ষার ফলাফল বা ফলাফলের সমাবেশকে ঘটনা বলে। উদাহরণস্বরূপ একটা ছক্কা নিক্ষেপ পরীক্ষায় '3' পাওয়া একটা ঘটনা। আবার জোড় সংখ্যা পাওয়া আরেকটি ঘটনা।

ঘটনজগত বা নমুনাক্ষেত্র (Sample Space)

কোনো দৈব পরীক্ষার সম্ভাব্য সকল ফলাফল নিয়ে গঠিত সেটকে ঘটনজগত বা নমুনাক্ষেত্র বলে।

ঘটন জগতকে S দ্বারা নির্দেশ করলে ছক্কার ক্ষেত্রে S = {1, 2, 3, 4,5,6}।

বিভিন্ন প্রকারের ঘটনা-

স্বাধীন বা অনির্ভরশীল ঘটনা (Independent Events)

যদি দুইটি ঘটনার মধ্যে একটি ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা অন্যটি ঘটার উপর নির্ভর না করে তাহলে, এ ঘটনা দুইটিকে স্বাধীন বা অনির্ভরশীল ঘটনা বলে।

যেমন- দুইটি মুদ্রা নিক্ষেপ করলে একটি মুদ্রার উপরের দিকে H পাওয়ার সম্ভাবনা অন্য মুদ্রাটির উপরের দিকে H পাওয়ার সম্ভাবনার উপর নির্ভর করে না। এজন্য এ ঘটনা দুইটি স্বাধীন বা অনির্ভরশীল ঘটনা।

অধীন বা নির্ভরশীল ঘটনা (Dependent Events)

যদি দুইটি ঘটনা এমন হয় যে, এদের কোনো একটি ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা পূর্বের অন্য একটি ঘটনা ঘটার উপর নির্ভর করে তাহলে, পরের ঘটনাটি অধীন বা নির্ভরশীল ঘটনা বলে।

যেমন- এক প্যাকেট তাস হতে দুইবার একটি করে তাস নেওয়া হলো। প্রথম তাসটি যেকোনো রঙের হতে পারে, কিন্তু দ্বিতীয় বারে টানা তাসটি একই রঙের হবে তা নির্ভর করে প্রথম তাসটির রঙের উপর। এখানে দ্বিতীয় ঘটনাটি অধীন বা নির্ভরশীল ঘটনা।

সম-সম্ভাব্য ঘটনা (Equally Likely Events)

যদি কোনো পরীক্ষার ঘটনাগুলো ঘটার সম্ভাবনা সমান হয় অর্থাৎ একটি অপরটির চেয়ে বেশি বা কম সম্ভাব্য না হয় তবে ঘটনাগুলোকে সম-সম্ভাব্য বলে।

যেমন- একটা নিরপেক্ষ মুদ্রা নিক্ষেপে হেড বা টেল আসার সম্ভাবনা সমান।

বর্জনশীল বা পৃথক বা বিচ্ছিন্ন ঘটনা (Mutually Exclusive Events)

কতগুলো ঘটনা এমন হয় যে, একটি ঘটনা ঘটলে অপর ঘটনাগুলো ঘটবে না, তাহলে ঐ ঘটনাগুলোকে পরস্পর বর্জনশীল বা বিচ্ছিন্ন ঘটনা বলে।

যেমন- একটা নিরপেক্ষ মুদ্রা নিক্ষেপ করলে হেড আসা বা টেল আসা দুইটি বিচ্ছিন্ন ঘটনা। কেননা হেড আসলে টেল আসতে পারে না। আবার টেল আসলে হেড আসতে পারে না। অর্থাৎ হেড ও টেল একসাথে আসতে পারে না।

অবর্জনশীল বা অবিচ্ছিন্ন ঘটনা (Not Mutually Exclusive Events)

দুইটি ঘটনার একটি ঘটলে যখন অপরটিও ঘটতে পারে তখন তাদেরকে অবর্জনশীল বা অবিচ্ছিন্ন ঘটনা বলে।

যেমন- 52টি তাসের প্যাকেট হতে 3টি তাস টানা হলো। তাসটি হরতন হওয়ার ঘটনা A এবং তাসটি লাল হওয়ার ঘটনা B হলে, A এবং B পরস্পর অবর্জনশীল বা অবিচ্ছিন্ন ঘটনা। কেননা হরতন তাস লাল রঙের বলে তা A এবং B উভয় ঘটনার অন্তর্গত।

পূরক ঘটনা (Complementary Event)

কোনো পরীক্ষায় একটি ঘটনা ঘটা এবং একটি ঘটনা না ঘটার ঘটনাকে পরস্পর পূরক ঘটনা বলে।

যেমন- একটা ছক্কা নিক্ষেপে জোড় সংখ্যা উপরে পাওয়ার ঘটনা A = {2, 4, 6} হলে, A ঘটনার পূরক ঘটনা হবে বিজোড় সংখ্যা পাওয়ার ঘটনা। অর্থাৎ A^c = {1, 3, 5}

নিশ্চিত ঘটনা (Sure Event)

কোনো পরীক্ষায় যে ঘটনা অবশ্যই ঘটবে একে নিশ্চিত ঘটনা বলে। নিশ্চিত ঘটনার ক্ষেত্রে সম্ভাবনার মান 1 হয়। যেমন-আগামীকাল সূর্য পূর্ব দিকে উঠার সম্ভাবনা 1.

একটা মুদ্রা নিক্ষেপ পরীক্ষায় H অথবা T আসার সম্ভাবনাও 1.

অসম্ভব ঘটনা (Impossible Event)

কোনো পরীক্ষায় যে ঘটনা কখনো ঘটবে না অর্থাৎ ঘটতে পারে না একে অসম্ভব ঘটনা বলে। অসম্ভব ঘটনার সম্ভাবনা সব সময় শূন্য হয়।

যেমন-

আগামীকাল সূর্য পশ্চিম দিক থেকে উঠবে এর সম্ভাবনা শূন্য।

একটা ছক্কা নিক্ষেপে 7 আসার সম্ভাবনাও শূন্য।

অনুকূল ফলাফল (Favourable Outcomes)

কোনো পরীক্ষায় একটা ঘটনার স্বপক্ষের ফলাফলকে উক্ত ঘটনার অনুকূল ফলাফল বলে। যেমন- একটি ছক্কা নিক্ষেপ করলে বিজোড় সংখ্যা হওয়ার অনুকূল ফলাফল 3টি।

সম্ভাব্যতার পরিমাপ

ঘটনজগতের মোট উপাদান সংখ্যা n(S) এবং A ঘটনার উপাদান সংখ্যা n(A) হলে, A ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা,

P(A) = n(A) A ঘটনার উপাদান সংখ্যা/n(S) S ঘটনজগতের মোট উপাদান সংখ্যা

= উক্ত ঘটনার অনুকূল ফলাফল/সমগ্র সম্ভাব্য ফলাফল

যেমন- একটি ছক্কা নিক্ষেপের ক্ষেত্রে ঘটনজগত S={ 1, 2 , 3, 4, 5, 6} এবং জোড় সংখ্যা পাবার ঘটনা A হলে, A = {2, 4, 6} সুতরাং n(S) = 6 এবং n(A) = 3

তাহলে A ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা $P\left(A\right)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

সম্ভাব্যতার সুত্র

সংযোগ সূত্র: দুইটি বর্জনশীল ঘটনার ক্ষেত্রে যেকোনো একটি ঘটনা ঘটার সম্ভাব্যতা তাদের প্রত্যেকটির পৃথক পৃথকভাবে ঘটার সম্ভাব্যতার যোগফলের সমান।

P(A U B)= P(A) + P(B)

যৌগিক সূত্র: দুইটি অবর্জনশীল ঘটনার ক্ষেত্রে যেকোনো একটি ঘটনা ঘটার সম্ভাব্যতা তাদের পৃথকভাবে ঘটার সম্ভাব্যতার সমষ্টি থেকে ঘটনা দুইটি একত্রে ঘটার সম্ভাব্যতার বিয়োগফলের সমান।

P(A U B)= P(A) + P(B) -P(A $\cap$ B)

পূরক সূত্র: যেকোনো দৈব পরীক্ষণে একটি ঘটনা ঘটা ও না ঘটার সম্ভাব্যতার সমষ্টি 1 (এক)।

P(A) + P(A^c) = 1 বা P(A^c) = 1 - P(A)

গুণন সূত্র:

(ক) দুইটি স্বাধীন ঘটনার ক্ষেত্রে-

দুইটি স্বাধীন ঘটনা একত্রে ঘটার সম্ভাব্যতা, এদের পৃথক পৃথক ঘটার সম্ভাব্যতার গুণফলের সমান।

A ও B দুইটি স্বাধীন ঘটনা হলে,

P(A $\cap$ B) বা P(AB) =P(A).P(B)

(খ) দুইটি অধীন ঘটনার ক্ষেত্রে-

দুইটি অধীন ঘটনা একত্রে ঘটার সম্ভাব্যতা, এদের যেকোনো একটির শর্তহীন সম্ভাব্যতা এবং অপরটির শর্তাধীন সম্ভাব্যতার গুণফলের সমান।

A ও B দুইটি অধীন ঘটনা হলে,

P(A $\cap$ B)= P(A) ,P(B|A)

অথবা P(A $\cap$ B)= P(B) ,P(A|B)

• সম্ভাবনার সর্বোচ্চ মান 1 এবং সর্বনিম্ন মান 0।
• কোনো কিছু ঘটার যদি সম্ভাবনা থাকে, তবে তা নিশ্চিত নয়, তবে ঐ ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা 0 থেকে 1 এর মধ্যে।