$\int \left(x\right) = \frac{x}{\left|x\right|}$ ফাংশনটির-

i. ডোমেন, $D_{\int =R}$

ii. রেঞ্জ $R_{\int =\left\{-1,1\right\}}$

iii. x = 0 বিন্দুতে ফাংশনটি বিদ্যমান নয় 

নিচের কোনটি সঠিক?

প্রদত্ত ফাংশনটি হলো: \(f(x) = \frac{x}{|x|}\)

এখন, ফাংশনটির ডোমেন, রেঞ্জ এবং \(x=0\) বিন্দুতে এর বিদ্যমানতা বিশ্লেষণ করা যাক:

i. ডোমেন (\(D_f\)):

কোনো বাস্তব সংখ্যার জন্য \(|x|\) এর মান ঋণাত্মক হতে পারে না। এই ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত হওয়ার জন্য, এর হর \(|x|\) শূন্য হতে পারবে না।

অর্থাৎ, \(|x| \neq 0\)

এটি তখনই সম্ভব যখন \(x \neq 0\)।

সুতরাং, ফাংশনটির ডোমেন হলো সকল বাস্তব সংখ্যা, শূন্য ব্যতীত। অর্থাৎ, \(D_f = R \setminus \{0\}\)।

কিন্তু প্রদত্ত বিবৃতি i. তে বলা হয়েছে \(D_f = R\), যা ভুল।

ii. রেঞ্জ (\(R_f\)):

\(|x|\) এর সংজ্ঞা অনুযায়ী, আমরা ফাংশনটির মান নির্ণয় করতে পারি:

    
• যদি \(x > 0\) হয়, তাহলে \(|x| = x\)। এক্ষেত্রে, \(f(x) = \frac{x}{x} = 1\)।
    
• যদি \(x < 0\) হয়, তাহলে \(|x| = -x\)। এক্ষেত্রে, \(f(x) = \frac{x}{-x} = -1\)।

\(x=0\) এর জন্য ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত নয়। সুতরাং, ফাংশনটির সম্ভাব্য মানগুলো শুধুমাত্র \(-1\) এবং \(1\)।

অর্থাৎ, ফাংশনটির রেঞ্জ \(R_f = \{-1, 1\}\)।

প্রদত্ত বিবৃতি ii. তে বলা হয়েছে রেঞ্জ \(R_f = \{-1, 1\}\), যা সঠিক।

iii. \(x = 0\) বিন্দুতে ফাংশনটি বিদ্যমান নয়:

আমরা ডোমেন বিশ্লেষণের সময় দেখেছি যে, \(x=0\) হলে হর \(|x|=0\) হয়ে যায়, যা ফাংশনকে অসংজ্ঞায়িত করে তোলে। গণিতে শূন্য দ্বারা ভাগ করা সম্ভব নয়।

অতএব, \(x=0\) বিন্দুতে ফাংশনটি বিদ্যমান নয়।

প্রদত্ত বিবৃতি iii. সঠিক।

উপরিউক্ত বিশ্লেষণ থেকে দেখা যায় যে, বিবৃতি ii ও iii সঠিক।