y = 3^x ফাংশনের- 

i. ডোমেন $=\left(-\infty ,\infty \right)$

ii. রেঞ্জ $=\left(0,\infty \right)$

iii. বিপরীত ফাংশন = log_x3 

নিচের কোনটি সঠিক?

দেওয়া আছে, ফাংশনটি হলো \(y = 3^x\)।

এখন, আমরা প্রতিটি বিবৃতি বিশ্লেষণ করি:

i. ডোমেন \( = (-\infty, \infty)\)

একটি সূচকীয় ফাংশন \(y = a^x\) (যেখানে \(a > 0\) এবং \(a \neq 1\)) সকল বাস্তব সংখ্যার জন্য সংজ্ঞায়িত। অর্থাৎ, \(x\) এর যেকোনো বাস্তব মানের জন্য \(y\) এর একটি বাস্তব মান পাওয়া যায়। এখানে \(a = 3\), যা \(0\) এর চেয়ে বড় এবং \(1\) এর সমান নয়। তাই, \(x\) এর মান \((-\infty, \infty)\) এর মধ্যে হতে পারে।

সুতরাং, ডোমেন হলো \((-\infty, \infty)\)। বিবৃতি i সঠিক।

ii. রেঞ্জ \( = (0, \infty)\)

সূচকীয় ফাংশন \(y = 3^x\) এর ক্ষেত্রে, \(3^x\) এর মান সর্বদা ধনাত্মক হবে। এটি কখনো শূন্য বা ঋণাত্মক হতে পারে না।

    
• যখন \(x\) এর মান অনেক ছোট (যেমন \(x \to -\infty\)), তখন \(3^x \to 0\)।
    
• যখন \(x\) এর মান অনেক বড় (যেমন \(x \to \infty\)), তখন \(3^x \to \infty\)।

অতএব, \(y\) এর মান \(0\) থেকে বড় যেকোনো বাস্তব সংখ্যা হতে পারে।

সুতরাং, রেঞ্জ হলো \((0, \infty)\)। বিবৃতি ii সঠিক।

iii. বিপরীত ফাংশন \( = \log_x 3\)

বিপরীত ফাংশন নির্ণয় করার জন্য, আমরা \(y = 3^x\) ফাংশনে \(x\) এবং \(y\) এর স্থান পরিবর্তন করি এবং \(y\) এর জন্য সমাধান করি।

দেওয়া আছে: \(y = 3^x\)

\(x\) এবং \(y\) এর স্থান পরিবর্তন করে পাই: \(x = 3^y\)

এখন, \(y\) এর জন্য সমাধান করার জন্য উভয় পাশে \(\log_3\) (ভিত্তি 3 সহ লগারিদম) গ্রহণ করি:

\(\log_3 x = \log_3 (3^y)\)

\(\log_3 x = y \log_3 3\)

যেহেতু \(\log_3 3 = 1\), তাই:

\(\log_3 x = y \cdot 1\)

\(y = \log_3 x\)

সুতরাং, ফাংশনটির বিপরীত ফাংশন হলো \(f^{-1}(x) = \log_3 x\)।

কিন্তু বিবৃতিতে দেওয়া আছে বিপরীত ফাংশন \(= \log_x 3\)। এটি ভুল। \(\log_x 3\) এর অর্থ হলো 'x ভিত্তি করে 3 এর লগারিদম', যা \(\log_3 x\) থেকে ভিন্ন।

সুতরাং, বিবৃতি iii ভুল।

উপরিউক্ত বিশ্লেষণ অনুযায়ী, বিবৃতি i এবং ii সঠিক।