$\overrightarrow{X} =3\hat{i}-2\hat{j}-6\hat{k}$ এবং $\overrightarrow{Y} =3\hat{i}+5\hat{j}-2\hat{k}$ দুইটি ভেক্টর হলে, $\overrightarrow{X}$ ভেক্টর বরাবর $\overrightarrow{Y}$ ভেক্টরের উপাংশ কত?

বিস্তারিত সমাধান:

দুটি ভেক্টর \(\vec{Y}\) এর উপর \(\vec{X}\) বরাবর উপাংশ (Vector Projection) নির্ণয়ের সূত্র হলো:

\( \text{Proj}_{\vec{X}} \vec{Y} = \left( \frac{\vec{X} \cdot \vec{Y}}{|\vec{X}|^2} \right) \vec{X} \)

এখানে প্রদত্ত ভেক্টর দুটি হলো:

\( \vec{X} = 3\hat{i} - 2\hat{j} - 6\hat{k} \)

\( \vec{Y} = 3\hat{i} + 5\hat{j} - 2\hat{k} \)

ধাপ ১: ভেক্টর দুটির ডট গুণফল (\(\vec{X} \cdot \vec{Y}\)) নির্ণয়:

\( \vec{X} \cdot \vec{Y} = (3)(3) + (-2)(5) + (-6)(-2) \)

\( = 9 - 10 + 12 \)

\( = 11 \)

ধাপ ২: \(\vec{X}\) ভেক্টরের মান (Magnitude of \(\vec{X}\)) নির্ণয়:

\( |\vec{X}| = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + (-6)^2} \)

\( = \sqrt{9 + 4 + 36} \)

\( = \sqrt{49} \)

\( = 7 \)

ধাপ ৩: ভেক্টর উপাংশ নির্ণয়:

ভেক্টর উপাংশের সূত্র অনুযায়ী মান বসিয়ে পাই:

\( \text{Proj}_{\vec{X}} \vec{Y} = \left( \frac{\vec{X} \cdot \vec{Y}}{|\vec{X}|^2} \right) \vec{X} \)

\( = \left( \frac{11}{7^2} \right) (3\hat{i} - 2\hat{j} - 6\hat{k}) \)

\( = \frac{11}{49} (3\hat{i} - 2\hat{j} - 6\hat{k}) \)

আমাদের নির্ণয়কৃত সঠিক ভেক্টর উপাংশ হলো \( \frac{11}{49} (3\hat{i} - 2\hat{j} - 6\hat{k}) \)। প্রদত্ত অপশনগুলোর সাথে তুলনা করলে দেখা যায়, কোনো অপশনই এই ফলাফলের সাথে হুবহু মিলে না।

উদাহরণস্বরূপ, অপশন ২ এ \(\frac{11}{7}(3\hat{i} + 2\hat{j} - 6\hat{k})\) দেওয়া আছে। এখানে গুণফলটি \(\frac{11}{7}\) যা স্কেলার উপাংশের সমান, কিন্তু ভেক্টর অংশটি \((3\hat{i} + 2\hat{j} - 6\hat{k})\) যা মূল \(\vec{X}\) ভেক্টরের (\(3\hat{i} - 2\hat{j} - 6\hat{k}\)) সাথে সাদৃশ্যপূর্ণ নয়, কারণ \(\hat{j}\) উপাংশের চিহ্ন ভুল আছে। এছাড়াও, ভেক্টর উপাংশ নির্ণয়ের সূত্রে \(|\vec{X}|\) এর বর্গ (\(|\vec{X}|^2\)) থাকার কথা।

প্রদত্ত শর্ত বা তথ্য অনুযায়ী এখানে কোনো অপশনই সঠিক নয়।