x = 0 বিন্দুতে $y=x^2+ex$ রেখার স্পর্শকের সমীকরণ হবে-

বিস্তারিত সমাধান:

প্রদত্ত বক্ররেখার সমীকরণ হলো: \(y = x^2 + ex\)

এখানে, '\(e\)' হলো একটি গাণিতিক ধ্রুবক (ইউলারের সংখ্যা, যার আনুমানিক মান 2.718)। 'ex' দ্বারা \(e \times x\) বোঝানো হয়েছে।

১. স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয়:

\(x = 0\) বিন্দুতে y-এর মান নির্ণয় করি:

\(y = (0)^2 + e(0)\)

\(y = 0 + 0\)

\(y = 0\)

সুতরাং, স্পর্শবিন্দুটি হলো \((0, 0)\)।

২. স্পর্শকের ঢাল নির্ণয়:

বক্ররেখার সমীকরণকে \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে ঢাল নির্ণয় করি:

\(\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^2 + ex)\)

\(\frac{dy}{dx} = 2x + e\)

\(x = 0\) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল \(m\) হবে:

\(m = (2(0) + e)\)

\(m = 0 + e\)

\(m = e\)

৩. স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয়:

একটি নির্দিষ্ট বিন্দু \((x_1, y_1)\) দিয়ে অতিক্রমকারী এবং \(m\) ঢালবিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ হলো \(y - y_1 = m(x - x_1)\)।

এখানে, \((x_1, y_1) = (0, 0)\) এবং \(m = e\)।

সুতরাং, স্পর্শকের সমীকরণ হবে:

\(y - 0 = e(x - 0)\)

\(y = ex\)

প্রদত্ত অপশনগুলো হলো:
1. \(y = x+1\)
2. \(y = 2x+1\)
3. \(y = 3x+1\)
4. \(y = 4x+1\)

আমরা প্রাপ্ত স্পর্শকের সমীকরণ (\(y = ex\)) এবং অপশনগুলির মধ্যে কোনো মিল নেই। এর কারণ হতে পারে যে প্রশ্নে \(e^x\) এর পরিবর্তে ভুলবশত \(ex\) লেখা হয়েছে।

যদি প্রশ্নটি \(y = x^2 + e^x\) হতো, তাহলে:

    
• \(x = 0\) বিন্দুতে \(y = (0)^2 + e^0 = 0 + 1 = 1\)। স্পর্শবিন্দু \((0, 1)\) হতো।
    
• ঢাল \(\frac{dy}{dx} = 2x + e^x\)। \(x = 0\) বিন্দুতে ঢাল \(m = 2(0) + e^0 = 0 + 1 = 1\) হতো।
    
• স্পর্শকের সমীকরণ \(y - 1 = 1(x - 0) \implies y = x + 1\) হতো, যা অপশন ১-এর সাথে মিলে যায়।

যেহেতু প্রশ্নে \(y = x^2 + ex\) দেওয়া আছে, সেই অনুযায়ী প্রাপ্ত সমীকরণ \(y = ex\) কোনো অপশনের সাথে মেলে না। তাই প্রদত্ত শর্ত বা তথ্য অনুযায়ী এখানে কোনো অপশনই সঠিক নয়। প্রশ্নে উল্লিখিত সমীকরণটি সম্ভবত \(y = x^2 + e^x\) হওয়ার কথা ছিল।