x + y = 6 হলে xy এর বৃহত্তম মান কত?

দুটি ধনাত্মক সংখ্যার যোগফল নির্দিষ্ট থাকলে, তাদের গুণফল তখনই সর্বোচ্চ হয় যখন সংখ্যা দুটি সমান হয়।

এখানে, দেওয়া আছে:

\(x + y = 6\)

\(xy\) এর বৃহত্তম মান নির্ণয় করতে হবে।

সর্বোচ্চ মানের জন্য, \(x = y\) হবে।

এখন, \(x + x = 6\)

\(2x = 6\)

\(x = \frac{6}{2}\)

\(x = 3\)

যেহেতু \(x = y\), সুতরাং \(y = 3\)

এখন, \(xy\) এর মান হবে:

\(xy = 3 \times 3 = 9\)

সুতরাং, \(xy\) এর বৃহত্তম মান হলো 9।

এটি গাণিতিক গড় ও জ্যামিতিক গড়ের সম্পর্ক (Arithmetic Mean - Geometric Mean Inequality) ব্যবহার করেও প্রমাণ করা যায়। দুটি ধনাত্মক সংখ্যা \(x\) এবং \(y\) এর জন্য, গাণিতিক গড় \(\ge\) জ্যামিতিক গড় অর্থাৎ,

\(\frac{x+y}{2} \ge \sqrt{xy}\)

এখানে, \(x+y = 6\)

\(\frac{6}{2} \ge \sqrt{xy}\)

\(3 \ge \sqrt{xy}\)

উভয় পাশে বর্গ করে পাই:

\(3^2 \ge (\sqrt{xy})^2\)

\(9 \ge xy\)

এর অর্থ হলো \(xy\) এর সর্বোচ্চ মান 9। এই অসমতাটি তখনই সমতায় (equality) পৌঁছায় যখন \(x=y\)।