${\left(x-\frac{1}{x}\right)}^8$ এর বিস্তৃতিতে x-বর্জিত পদটি কত? (What is the x-independent term in the expansion of ${\left(x-\frac{1}{x}\right)}^8$? )

দ্বিপদী বিস্তৃতির সাধারণ পদ, মধ্য পদ ও সমদূরবর্তী পদ

দ্বিপদী বিস্তৃতিতে \( (a + b)^n \) এর বিস্তৃতির সাধারণ পদ, মধ্য পদ ও সমদূরবর্তী পদ খুবই গুরুত্বপূর্ণ। এই পদগুলি বিভিন্ন গাণিতিক সমস্যায় ব্যবহৃত হয় এবং সেগুলির সঠিক বিশ্লেষণ করতে সহায়ক।

১. সাধারণ পদ (General Term)

দ্বিপদী বিস্তৃতির সাধারণ পদকে \( T_k \) হিসেবে চিহ্নিত করা হয়। এটি \( (a + b)^n \) বিস্তৃতির \( k \)-তম পদ, যা নিম্নলিখিত সূত্রের মাধ্যমে বের করা যায়:

\[
T_k = \binom{n}{k} a^{n-k} b^k
\]

এখানে,

• \( \binom{n}{k} \) হল বাইনোমিয়াল সহগ।
• \( a^{n-k} \) এবং \( b^k \) হল যথাক্রমে \( a \)-এর এবং \( b \)-এর ঘাত।

২. মধ্য পদ (Middle Term)

দ্বিপদী বিস্তৃতির মধ্যে যদি \( n \) একটি বিজোড় সংখ্যা হয়, তাহলে সেখানে একটি একক মধ্য পদ থাকবে। মধ্য পদটির জন্য \( k = \frac{n}{2} \) হবে। অন্যদিকে, যদি \( n \) একটি যুগল সংখ্যা হয়, তাহলে সেখানে দুটি মধ্য পদ থাকবে, যেগুলোর জন্য \( k = \frac{n}{2} \) এবং \( k = \frac{n}{2} - 1 \) হবে।

যুগল সংখ্যার উদাহরণ:

ধরা যাক, \( n = 4 \), তাহলে \( (a + b)^4 \) এর বিস্তৃতির মধ্য পদ দুটি হবে:

\[
T_2 = \binom{4}{2} a^2 b^2
\]

এবং

\[
T_3 = \binom{4}{3} a b^3
\]

বিজোড় সংখ্যার উদাহরণ:

ধরা যাক, \( n = 5 \), তাহলে \( (a + b)^5 \) এর মধ্য পদ হবে:

\[
T_3 = \binom{5}{2} a^3 b^2
\]

এখানে \( T_3 \) হল একক মধ্য পদ।

৩. সমদূরবর্তী পদ (Equidistant Terms)

সমদূরবর্তী পদগুলি হল সেই সব পদ যা বাইনোমিয়াল বিস্তৃতির শুরু এবং শেষের কাছাকাছি অবস্থিত। এই পদগুলি সাধারণত বিপরীত দিকে সমান দূরত্বে থাকে। যদি \( n \) একটি বিজোড় সংখ্যা হয়, তাহলে মধ্য পদটি একক হবে এবং তার আশেপাশের দুইটি পদ সমদূরবর্তী পদ হবে। যদি \( n \) একটি যুগল সংখ্যা হয়, তাহলে দুটি মধ্য পদ থাকবে, এবং তাদের আশেপাশে সমদূরবর্তী পদগুলি থাকবে।

উদাহরণস্বরূপ, \( (a + b)^4 \) এর সমদূরবর্তী পদগুলি হল প্রথম এবং চতুর্থ পদ, অর্থাৎ \( T_1 \) এবং \( T_4 \), এবং \( (a + b)^5 \) এর জন্য সমদূরবর্তী পদগুলি হল প্রথম এবং পঞ্চম, অর্থাৎ \( T_1 \) এবং \( T_5 \)।

সমাপনী

• সাধারণ পদ: \( T_k = \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \)
• মধ্য পদ: \( k = \frac{n}{2} \) (যদি \( n \) বিজোড় না হয়)।
• সমদূরবর্তী পদ: প্রথম এবং শেষ পদ, অথবা মধ্য পদগুলি থেকে সমান দূরত্বে থাকা পদ।