$x^2 + y^2 - 4x - 6y + c =0$ বৃত্তটি x- অক্ষকে র্স্পশ করে। C এর মান কত?

ব্যাখ্যাঃ বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ হলো \(x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c_0 = 0\)। এই সমীকরণের জন্য বৃত্তের কেন্দ্র হলো \((-g, -f)\) এবং ব্যাসার্ধ \(r = \sqrt{g^2 + f^2 - c_0}\)।
প্রদত্ত বৃত্তের সমীকরণটি হলো:

\(x^2 + y^2 - 4x - 6y + c = 0\)

এই সমীকরণটিকে সাধারণ সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই:

\(2g = -4 \Rightarrow g = -2\)

\(2f = -6 \Rightarrow f = -3\)

\(c_0 = c\)

সুতরাং, বৃত্তের কেন্দ্র \(( -g, -f ) = ( -(-2), -(-3) ) = (2, 3)\)

এবং বৃত্তের ব্যাসার্ধ \(r = \sqrt{g^2 + f^2 - c_0} = \sqrt{(-2)^2 + (-3)^2 - c}\)

\(r = \sqrt{4 + 9 - c} = \sqrt{13 - c}\)

যখন একটি বৃত্ত x-অক্ষকে স্পর্শ করে, তখন বৃত্তের কেন্দ্রের y-স্থানাঙ্কের পরম মান তার ব্যাসার্ধের সমান হয়।

অর্থাৎ, \(|y_{কেন্দ্র}| = r\)

এখানে, কেন্দ্রের y-স্থানাঙ্ক হলো 3।

অতএব, \(|3| = \sqrt{13 - c}\)

\(3 = \sqrt{13 - c}\)

উভয় পাশে বর্গ করে পাই:

\(3^2 = (\sqrt{13 - c})^2\)

\(9 = 13 - c\)

\(c = 13 - 9\)

\(c = 4\)