$x^2+xy+y^2=0$ হলে, (3, – 4) বিন্দুতে $\frac{dy}{dx}=?$

এখানে প্রদত্ত সমীকরণটি হলো:

\(x^2 + xy + y^2 = 0\)

আমাদেরকে \((3, -4)\) বিন্দুতে \(\frac{dy}{dx}\) এর মান নির্ণয় করতে হবে। এর জন্য আমরা সমীকরণটিকে \(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ (differentiate) করব। যেহেতু \(y\) এখানে \(x\)-এর একটি পরোক্ষ ফাংশন (implicit function), তাই আমরা পরোক্ষ অন্তরীকরণ (implicit differentiation) পদ্ধতি ব্যবহার করব।

\(\frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(xy) + \frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(0)\)

প্রত্যেকটি পদকে আলাদাভাবে অন্তরীকরণ করি:

    
• \(\frac{d}{dx}(x^2) = 2x\)
    
• \(\frac{d}{dx}(xy)\): এখানে গুণফলের সূত্র (product rule) ব্যবহার করতে হবে, অর্থাৎ \(\frac{d}{dx}(uv) = u\frac{dv}{dx} + v\frac{du}{dx}\)।
    

সুতরাং, \(\frac{d}{dx}(xy) = x \cdot \frac{dy}{dx} + y \cdot \frac{d}{dx}(x) = x \frac{dy}{dx} + y \cdot 1 = x \frac{dy}{dx} + y\)

    
• \(\frac{d}{dx}(y^2)\): এখানে চেইন রুল (chain rule) ব্যবহার করতে হবে।
    

সুতরাং, \(\frac{d}{dx}(y^2) = 2y \cdot \frac{dy}{dx}\)

    
• \(\frac{d}{dx}(0) = 0\) (কারণ ধ্রুবকের অন্তরীকরণ শূন্য)

এবার সবগুলোকে একত্রিত করি:

\(2x + (x \frac{dy}{dx} + y) + 2y \frac{dy}{dx} = 0\)

\(2x + y + x \frac{dy}{dx} + 2y \frac{dy}{dx} = 0\)

\(\frac{dy}{dx}\) যুক্ত পদগুলোকে একপাশে এবং বাকি পদগুলোকে অন্যপাশে নিয়ে যাই:

\(x \frac{dy}{dx} + 2y \frac{dy}{dx} = -2x - y\)

\(\frac{dy}{dx}\) কমন নেই:

\((x + 2y) \frac{dy}{dx} = -(2x + y)\)

সুতরাং, \(\frac{dy}{dx} = -\frac{2x + y}{x + 2y}\)

এখন, আমরা \((3, -4)\) বিন্দুতে \(\frac{dy}{dx}\) এর মান নির্ণয় করব। এর জন্য \(x=3\) এবং \(y=-4\) বসিয়ে পাই:

\(\frac{dy}{dx} = -\frac{2(3) + (-4)}{3 + 2(-4)}\)

\(\frac{dy}{dx} = -\frac{6 - 4}{3 - 8}\)

\(\frac{dy}{dx} = -\frac{2}{-5}\)

\(\frac{dy}{dx} = \frac{2}{5}\)