$x^2+y^2+2kx+8y+c=0$ বৃত্তটি উভয় অক্ষকে স্পর্শ করলে -এর মান কত হবে?

একটি বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ হলো \(x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0\)। এই বৃত্তের কেন্দ্র হলো \((-g, -f)\) এবং ব্যাসার্ধ \(r = \sqrt{g^2 + f^2 - c}\)।

প্রদত্ত বৃত্তের সমীকরণ: \(x^2 + y^2 + 2kx + 8y + c = 0\)।

সাধারণ সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই:

    
• \(2g = 2k \implies g = k\)
    
• \(2f = 8 \implies f = 4\)

সুতরাং, বৃত্তটির কেন্দ্র হলো \((-g, -f) = (-k, -4)\) এবং ব্যাসার্ধ \(r = \sqrt{k^2 + 4^2 - c} = \sqrt{k^2 + 16 - c}\)।

যখন একটি বৃত্ত উভয় অক্ষকে স্পর্শ করে, তখন তার কেন্দ্রের x-স্থানাঙ্কের পরম মান এবং y-স্থানাঙ্কের পরম মান উভয়ই তার ব্যাসার্ধের সমান হয়। অর্থাৎ, \(|-g| = r\) এবং \(|-f| = r\)।

এই শর্তানুযায়ী:

    
• \(|-k| = r\)
    
• \(|-4| = r\)

দ্বিতীয় শর্তটি থেকে আমরা পাই, \(r = 4\)।

এখন, \(r=4\) মানটি প্রথম শর্তে বসিয়ে পাই:

\(|-k| = 4\)

এর অর্থ হলো, \(k\) এর মান \(4\) অথবা \(-4\) হতে পারে। অর্থাৎ, \(k = \pm 4\)।

উপরন্তু, যদি একটি বৃত্ত উভয় অক্ষকে স্পর্শ করে, তাহলে \(c = g^2 = f^2\) হয়।

এক্ষেত্রে, \(c = k^2\) এবং \(c = 4^2 = 16\)।

তাহলে, \(k^2 = 16\), যা থেকে \(k = \pm 4\) পাওয়া যায়।

প্রদত্ত অপশনগুলো হলো:

    
1. 16
    
2. 4
    
3. -4
    
4. -16

উপরের বিশ্লেষণ থেকে দেখা যায় যে, বৃত্তটি উভয় অক্ষকে স্পর্শ করলে \(k\) এর মান \(4\) অথবা \(-4\) হতে পারে। সে অনুযায়ী, অপশন 2 (4) এবং অপশন 3 (-4) উভয়ই গাণিতিকভাবে সঠিক। সাধারণত, বহুনির্বাচনী প্রশ্নে একটি নির্দিষ্ট সঠিক উত্তর থাকে। যেহেতু এখানে একাধিক সঠিক উত্তর বিদ্যমান, সেহেতু প্রশ্নটি অসম্পূর্ণ বা ত্রুটিপূর্ণ।