$\frac{x+y}{x+y}$ ও $\frac{x-y}{x+y}$ কে সাধারণ হর বিশিষ্ট ভগ্নাংশে প্রকাশ করলে নিচের কোনটি হবে?

দুটি ভগ্নাংশকে সাধারণ হর বিশিষ্ট ভগ্নাংশে প্রকাশ করার জন্য প্রথমে তাদের হরের ল.সা.গু. (LCM) নির্ণয় করতে হয়। এরপর প্রতিটি ভগ্নাংশের হরকে ল.সা.গু.-এর সমান করার জন্য লব ও হরকে প্রয়োজনীয় রাশি দ্বারা গুণ করতে হয়।

প্রদত্ত ভগ্নাংশ দুটি হলো:

১. \( \frac{x+y}{x-y} \)

২. \( \frac{x-y}{x+y} \)

এখানে হর দুটি হলো \( (x-y) \) এবং \( (x+y) \)।

হর দুটির ল.সা.গু. হলো \( (x-y)(x+y) \)। আমরা জানি, \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \)।

সুতরাং, ল.সা.গু. \( = x^2 - y^2 \)।

এখন, প্রতিটি ভগ্নাংশকে সাধারণ হর \( x^2 - y^2 \) বিশিষ্ট ভগ্নাংশে রূপান্তর করি:

প্রথম ভগ্নাংশ: \( \frac{x+y}{x-y} \)

\( x-y \) কে \( x^2 - y^2 \) বানাতে \( (x+y) \) দ্বারা গুণ করতে হবে। তাই লব ও হর উভয়কেই \( (x+y) \) দ্বারা গুণ করি:

\( \frac{(x+y) \times (x+y)}{(x-y) \times (x+y)} \)

\( = \frac{(x+y)^2}{x^2 - y^2} \)

দ্বিতীয় ভগ্নাংশ: \( \frac{x-y}{x+y} \)

\( x+y \) কে \( x^2 - y^2 \) বানাতে \( (x-y) \) দ্বারা গুণ করতে হবে। তাই লব ও হর উভয়কেই \( (x-y) \) দ্বারা গুণ করি:

\( \frac{(x-y) \times (x-y)}{(x+y) \times (x-y)} \)

\( = \frac{(x-y)^2}{x^2 - y^2} \)

সুতরাং, সাধারণ হর বিশিষ্ট ভগ্নাংশ দুটি হলো \( \frac{(x+y)^2}{x^2 - y^2} \) এবং \( \frac{(x-y)^2}{x^2 - y^2} \)।

যা অপশন ১-এ দেওয়া আছে।