$y = x^x$ হলে $\frac{dy}{dx}$ কত ?

বিস্তারিত সমাধান:

প্রদত্ত ফাংশনটি হলো:

\(y = x^x\)

এই ধরনের ফাংশনের অন্তরক (derivative) নির্ণয় করার জন্য আমরা উভয় পাশে প্রাকৃতিক লগারিদম (natural logarithm) নিব।

\(\ln y = \ln(x^x)\)

লগারিদমের বৈশিষ্ট্য \(\ln(a^b) = b \ln a\) ব্যবহার করে পাই:

\(\ln y = x \ln x\)

এখন, উভয় পক্ষকে \(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরক করব।

বাম পাশ: \(\frac{d}{dx}(\ln y) = \frac{1}{y} \frac{dy}{dx}\)

ডান পাশ: \(\frac{d}{dx}(x \ln x)\)

ডান পাশের অন্তরক নির্ণয় করতে গুণফল সূত্র (Product Rule) ব্যবহার করব, যা হলো: \(\frac{d}{dx}(uv) = u'v + uv'\)

এখানে, \(u = x\) এবং \(v = \ln x\)।

সুতরাং, \(u' = \frac{d}{dx}(x) = 1\)

এবং \(v' = \frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}\)

এখন, গুণফল সূত্র প্রয়োগ করে পাই:

\(\frac{d}{dx}(x \ln x) = (1)(\ln x) + (x)\left(\frac{1}{x}\right)\)

\(= \ln x + 1\)

এখন বাম পাশ এবং ডান পাশের ফলাফল একত্রিত করে পাই:

\(\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \ln x + 1\)

\(\frac{dy}{dx} = y (\ln x + 1)\)

প্রদত্ত ফাংশন \(y = x^x\) এর মান প্রতিস্থাপন করে পাই:

\(\frac{dy}{dx} = x^x (1 + \ln x)\)

অতএব, সঠিক উত্তরটি হলো \(x^x (1 + \ln x)\)।