y-অক্ষের উপরিস্থিত যে বিন্দু হতে 3y - 4x = 10 রেখার লম্ব দূরত্ব 4 একক, তার স্থানাঙ্ক হলো-

বিস্তারিত সমাধান:

ধরি, y-অক্ষের উপরিস্থিত বিন্দুটির স্থানাঙ্ক \( (0, k) \) (যেহেতু y-অক্ষের উপর x স্থানাঙ্ক 0 হয়)।

প্রদত্ত রেখার সমীকরণ হলো \( 3y - 4x = 10 \)।

এই সমীকরণটিকে \( Ax + By + C = 0 \) আকারে লিখলে হয় \( -4x + 3y - 10 = 0 \)।

এখানে, \( A = -4 \), \( B = 3 \), এবং \( C = -10 \)।

\( (x_1, y_1) \) বিন্দু থেকে \( Ax + By + C = 0 \) রেখার লম্ব দূরত্বের সূত্র হলো \( d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \)।

প্রশ্নানুযায়ী, বিন্দুটি \( (0, k) \) এবং লম্ব দূরত্ব \( d = 4 \) একক।

সুতরাং, আমরা পাই:

\( 4 = \frac{|(-4)(0) + (3)(k) - 10|}{\sqrt{(-4)^2 + (3)^2}} \)

\( 4 = \frac{|0 + 3k - 10|}{\sqrt{16 + 9}} \)

\( 4 = \frac{|3k - 10|}{\sqrt{25}} \)

\( 4 = \frac{|3k - 10|}{5} \)

\( 20 = |3k - 10| \)

পরম মানের ধর্ম অনুযায়ী, দুটি সম্ভাবনা আছে:

কেস ১: \( 3k - 10 = 20 \)

\( 3k = 20 + 10 \)

\( 3k = 30 \)

\( k = \frac{30}{3} \)

\( k = 10 \)

এক্ষেত্রে বিন্দুটির স্থানাঙ্ক \( (0, 10) \)।

কেস ২: \( 3k - 10 = -20 \)

\( 3k = -20 + 10 \)

\( 3k = -10 \)

\( k = -\frac{10}{3} \)

এক্ষেত্রে বিন্দুটির স্থানাঙ্ক \( (0, -\frac{10}{3}) \)।

প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে \( (0, 10) \) একটি সম্ভাব্য সঠিক উত্তর।

💡 শর্টকাট টেকনিক (অপশন যাচাই):

যদি আমরা অপশন থেকে \( (0, 10) \) বিন্দুটি ব্যবহার করি, তাহলে \( x_1 = 0 \) এবং \( y_1 = 10 \)।

রেখার সমীকরণ \( -4x + 3y - 10 = 0 \)।

লম্ব দূরত্ব \( d = \frac{|(-4)(0) + (3)(10) - 10|}{\sqrt{(-4)^2 + (3)^2}} \)

\( d = \frac{|0 + 30 - 10|}{\sqrt{16 + 9}} \)

\( d = \frac{|20|}{\sqrt{25}} \)

\( d = \frac{20}{5} \)

\( d = 4 \)

যেহেতু দূরত্ব 4 একক পাওয়া যায়, তাই \( (0, 10) \) সঠিক স্থানাঙ্ক।