y= mx + c সরল রেখাটি $y^2=4ax$ পরাবৃত্তটিকে স্পর্শ করার শর্ত কোনটি?

একটি সরলরেখা একটি পরাবৃত্তকে স্পর্শ করার শর্ত নির্ণয় করার জন্য, আমরা সরলরেখার সমীকরণটিকে পরাবৃত্তের সমীকরণে প্রতিস্থাপন করে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ তৈরি করি। যেহেতু সরলরেখাটি পরাবৃত্তটিকে স্পর্শ করে, তাই এই দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় সমান হবে, যার অর্থ এর নিশ্চয়ক (discriminant) শূন্য হবে।

দেওয়া আছে:

    
• সরলরেখার সমীকরণ: \(y = mx + c\)
    
• পরাবৃত্তের সমীকরণ: \(y^2 = 4ax\)

সরলরেখার সমীকরণ থেকে \(y\) এর মান পরাবৃত্তের সমীকরণে প্রতিস্থাপন করি:

বাম পাশকে বিস্তৃত করি:

সমীকরণটিকে একটি সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণের আকারে লিখি \(Ax^2 + Bx + C = 0\):

এখানে,
\(A = m^2\)
\(B = (2mc - 4a)\)
\(C = c^2\)

যেহেতু সরলরেখাটি পরাবৃত্তটিকে স্পর্শ করে, তাই এই দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় সমান হবে। সুতরাং, নিশ্চয়ক \(B^2 - 4AC = 0\) হতে হবে।

বাম পাশকে বিস্তৃত করি:

পদগুলি সরল করি:

\(16a^2 = 16amc\)

উভয় পক্ষকে \(16a\) দ্বারা ভাগ করি (ধরি \(a \neq 0\) এবং \(m \neq 0\)):

\(c = \frac{a}{m}\)

সুতরাং, \(y = mx + c\) সরলরেখাটি \(y^2 = 4ax\) পরাবৃত্তটিকে স্পর্শ করার শর্ত হলো \(c = \frac{a}{m}\)।