y - x - 2 = 0 সরলরেখাটি

i. x অক্ষের সাথে 45°$°$কোণ উৎপন্ন করে

ii. দ্বারা অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী খণ্ডিতাংশের দৈর্ঘ্য =4

iii. y অক্ষকে (0,2) বিন্দুতে ছেদ করে

নিচের কোনটি সঠিক?

প্রদত্ত সরলরেখার সমীকরণটি হলো:

\(y - x - 2 = 0\)

এই সমীকরণটিকে ঢাল-ছেদক আকারে \(y = mx + c\) প্রকাশ করে পাই:

\(y = x + 2\)

এখানে, ঢাল \(m = 1\) এবং y-অক্ষের ছেদক \(c = 2\)।

এই সমীকরণটিকে ছেদক আকারে \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\) প্রকাশ করে পাই:

\(x - y = -2\)

\(\frac{x}{-2} + \frac{y}{2} = 1\)

এখানে, x-অক্ষের ছেদক \(a = -2\) এবং y-অক্ষের ছেদক \(b = 2\)।

এবার প্রদত্ত শর্তগুলো যাচাই করি:

i. x অক্ষের সাথে 45\(^\circ\) কোণ উৎপন্ন করে

আমরা জানি, সরলরেখাটি x-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে \(\theta\) কোণ উৎপন্ন করলে এর ঢাল \(m = \tan \theta\)।

এখানে, ঢাল \(m = 1\)।

সুতরাং, \(\tan \theta = 1\)

\(\theta = \tan^{-1}(1)\)

\(\theta = 45^\circ\)

অতএব, বিবৃতি i সঠিক।

ii. দ্বারা অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী খণ্ডিতাংশের দৈর্ঘ্য = 4

সরলরেখাটি x-অক্ষকে \((-2, 0)\) বিন্দুতে এবং y-অক্ষকে \((0, 2)\) বিন্দুতে ছেদ করে।

অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী খণ্ডিতাংশের দৈর্ঘ্য হবে এই দুটি বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব।

দূরত্ব \(= \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\)

\(= \sqrt{(0 - (-2))^2 + (2 - 0)^2}\)

\(= \sqrt{(2)^2 + (2)^2}\)

\(= \sqrt{4 + 4}\)

\(= \sqrt{8}\)

\(= 2\sqrt{2}\)

যেহেতু \(2\sqrt{2} \neq 4\), অতএব বিবৃতি ii বেঠিক।

iii. y অক্ষকে (0,2) বিন্দুতে ছেদ করে

আমরা দেখেছি, সরলরেখার সমীকরণ \(y = x + 2\) এর y-অক্ষের ছেদক \(c = 2\)। এর অর্থ হলো, সরলরেখাটি y-অক্ষকে \((0, 2)\) বিন্দুতে ছেদ করে।

অতএব, বিবৃতি iii সঠিক।

সুতরাং, i ও iii নং বিবৃতি দুটি সঠিক।