$y=x^2$ বক্ররেখার (1,2) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল কত?

কোনো বক্ররেখার নির্দিষ্ট বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল (slope of the tangent) নির্ণয় করার জন্য বক্ররেখার সমীকরণটিকে ঐ বিন্দুর সাপেক্ষে ব্যবকলন (differentiation) করতে হয়।

দেওয়া আছে, বক্ররেখার সমীকরণ \(y = x^2\)।

এই বক্ররেখার স্পর্শকের ঢাল নির্ণয়ের জন্য, আমরা \(y\) কে \(x\) এর সাপেক্ষে ব্যবকলন করব:

\(\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^2)\)

\(\frac{dy}{dx} = 2x\)

এখন, প্রশ্নমতে স্পর্শকের ঢাল (1,2) বিন্দুতে নির্ণয় করতে বলা হয়েছে।

যদি \(x=1\) হয়, তবে প্রদত্ত বক্ররেখা \(y = x^2\) থেকে \(y\) এর মান হবে:

\(y = (1)^2 = 1\)

সুতরাং, \(x=1\) এর জন্য বক্ররেখার উপরস্থ বিন্দুটি হলো (1,1)।

যেহেতু প্রদত্ত বিন্দু (1,2) বক্ররেখা \(y=x^2\) এর উপর অবস্থিত নয় (কারণ \(y=1 \neq 2\) যখন \(x=1\)), তাই (1,2) বিন্দুতে এই বক্ররেখার স্পর্শক নির্ণয় করা সম্ভব নয়, অথবা প্রশ্নটি অসম্পূর্ণ বা ভুলভাবে উপস্থাপিত হয়েছে। একটি বক্ররেখার স্পর্শক কেবল বক্ররেখার উপরস্থ কোনো বিন্দুতে আঁকা যায়।

যদি প্রশ্নটি (1,1) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল জানতে চাইতো, তাহলে ঢাল হতো \(2 \times 1 = 2\)। কিন্তু প্রদত্ত বিন্দুটি বক্ররেখার উপর অবস্থিত না হওয়ায়, প্রদত্ত শর্ত বা তথ্য অনুযায়ী এখানে কোনো অপশনই সঠিক নয়।