ভেক্টর গুণন

একাদশ- দ্বাদশ শ্রেণি - উচ্চতর গণিত উচ্চতর গণিত – ১ম পত্র | - | NCTB BOOK

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ক্রস প্রোডাক্ট (Cross Product)

ক্রস প্রোডাক্ট হল দুটি ভেক্টরের মধ্যে ভেক্টর গুণন, যা একটি নতুন ভেক্টর উৎপন্ন করে। এই নতুন ভেক্টরটি দুটি মূল ভেক্টরের সমতলে লম্বভাবে থাকে।

সূত্র:

যদি দুটি ভেক্টর $→A=Axi+Ayj+Azk<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mover accent="true"><mi>A</mi><mo>⃗</mo></mover><mo>=</mo><msub><mi>A</mi><mi>x</mi></msub><mi>i</mi><mo>+</mo><msub><mi>A</mi><mi>y</mi></msub><mi>j</mi><mo>+</mo><msub><mi>A</mi><mi>z</mi></msub><mi>k</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\vec{A} = A_x i + A_y j + A_z k</annotation></semantics></math>$ $A$ $=$ $A$ $x$ $$ $i$ $+$ $A$ $y$ $$ $j$ $+$ $A$ $z$ $$ $k$ এবং $→B=Bxi+Byj+Bzk<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mover accent="true"><mi>B</mi><mo>⃗</mo></mover><mo>=</mo><msub><mi>B</mi><mi>x</mi></msub><mi>i</mi><mo>+</mo><msub><mi>B</mi><mi>y</mi></msub><mi>j</mi><mo>+</mo><msub><mi>B</mi><mi>z</mi></msub><mi>k</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\vec{B} = B_x i + B_y j + B_z k</annotation></semantics></math>$ $B$ $=$ $B$ $x$ $$ $i$ $+$ $B$ $y$ $$ $j$ $+$ $B$ $z$ $$ $k$ হয়, তাহলে তাদের ক্রস প্রোডাক্ট হবে:

→A×→B=(AyBz−AzBy)i−(AxBz−AzBx)j+(AxBy−AyBx)k<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><semantics><mrow><mover accent="true"><mi>A</mi><mo>⃗</mo></mover><mo>×</mo><mover accent="true"><mi>B</mi><mo>⃗</mo></mover><mo>=</mo><mo stretchy="false">(</mo><msub><mi>A</mi><mi>y</mi></msub><msub><mi>B</mi><mi>z</mi></msub><mo>−</mo><msub><mi>A</mi><mi>z</mi></msub><msub><mi>B</mi><mi>y</mi></msub><mo stretchy="false">)</mo><mi>i</mi><mo>−</mo><mo stretchy="false">(</mo><msub><mi>A</mi><mi>x</mi></msub><msub><mi>B</mi><mi>z</mi></msub><mo>−</mo><msub><mi>A</mi><mi>z</mi></msub><msub><mi>B</mi><mi>x</mi></msub><mo stretchy="false">)</mo><mi>j</mi><mo>+</mo><mo stretchy="false">(</mo><msub><mi>A</mi><mi>x</mi></msub><msub><mi>B</mi><mi>y</mi></msub><mo>−</mo><msub><mi>A</mi><mi>y</mi></msub><msub><mi>B</mi><mi>x</mi></msub><mo stretchy="false">)</mo><mi>k</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\vec{A} \times \vec{B} = (A_y B_z - A_z B_y) i - (A_x B_z - A_z B_x) j + (A_x B_y - A_y B_x) k</annotation></semantics></math>

$A$ $\times$ $B$ $=$ $($ $A$ $y$ $$ $B$ $z$ $$ $-$ $A$ $z$ $$ $B$ $y$ $$ $)$ $i$ $-$ $($ $A$ $x$ $$ $B$ $z$ $$ $-$ $A$ $z$ $$ $B$ $x$ $$ $)$ $j$ $+$ $($ $A$ $x$ $$ $B$ $y$ $$ $-$ $A$ $y$ $$ $B$ $x$ $$ $)$ $k$

অথবা, ক্রস প্রোডাক্টকে কোণের মাধ্যমে প্রকাশ করা যায়:

∣→A×→B∣=∣→A∣∣→B∣sinθ<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><semantics><mrow><mi mathvariant="normal">∣</mi><mover accent="true"><mi>A</mi><mo>⃗</mo></mover><mo>×</mo><mover accent="true"><mi>B</mi><mo>⃗</mo></mover><mi mathvariant="normal">∣</mi><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">∣</mi><mover accent="true"><mi>A</mi><mo>⃗</mo></mover><mi mathvariant="normal">∣</mi><mi mathvariant="normal">∣</mi><mover accent="true"><mi>B</mi><mo>⃗</mo></mover><mi mathvariant="normal">∣</mi><mi>sin</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">|\vec{A} \times \vec{B}| = |\vec{A}| |\vec{B}| \sin \theta</annotation></semantics></math>

$∣$ $A$ $\times$ $B$ $∣$ $=$ $∣$ $A$ $∣∣$ $B$ $∣$ $sin$ $θ$

এখানে,

$∣→A∣<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi mathvariant="normal">∣</mi><mover accent="true"><mi>A</mi><mo>⃗</mo></mover><mi mathvariant="normal">∣</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">|\vec{A}|</annotation></semantics></math>$ $∣$ $A$ $∣$ এবং $∣→B∣<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi mathvariant="normal">∣</mi><mover accent="true"><mi>B</mi><mo>⃗</mo></mover><mi mathvariant="normal">∣</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">|\vec{B}|</annotation></semantics></math>$ $∣$ $B$ $∣$ হল ভেক্টর $→A<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mover accent="true"><mi>A</mi><mo>⃗</mo></mover></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\vec{A}</annotation></semantics></math>$ $A$ এবং $→B<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mover accent="true"><mi>B</mi><mo>⃗</mo></mover></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\vec{B}</annotation></semantics></math>$ $B$ -এর মান।
$θ<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>θ</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\theta</annotation></semantics></math>$ $θ$ হল $→A<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mover accent="true"><mi>A</mi><mo>⃗</mo></mover></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\vec{A}</annotation></semantics></math>$ $A$ এবং $→B<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mover accent="true"><mi>B</mi><mo>⃗</mo></mover></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\vec{B}</annotation></semantics></math>$ $B$ এর মধ্যবর্তী কোণ।

উদাহরণ:

ধরা যাক, $→A=2i+3j+4k<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mover accent="true"><mi>A</mi><mo>⃗</mo></mover><mo>=</mo><mn>2</mn><mi>i</mi><mo>+</mo><mn>3</mn><mi>j</mi><mo>+</mo><mn>4</mn><mi>k</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\vec{A} = 2i + 3j + 4k</annotation></semantics></math>$ $A$ $=$ $2$ $i$ $+$ $3$ $j$ $+$ $4$ $k$ এবং $→B=i+2j+3k<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mover accent="true"><mi>B</mi><mo>⃗</mo></mover><mo>=</mo><mi>i</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>j</mi><mo>+</mo><mn>3</mn><mi>k</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\vec{B} = i + 2j + 3k</annotation></semantics></math>$ $B$ $=$ $i$ $+$ $2$ $j$ $+$ $3$ $k$ । তাহলে তাদের ক্রস প্রোডাক্ট হবে:

→A×→B=(3×3−4×2)i−(2×3−4×1)j+(2×2−3×1)k<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><semantics><mrow><mover accent="true"><mi>A</mi><mo>⃗</mo></mover><mo>×</mo><mover accent="true"><mi>B</mi><mo>⃗</mo></mover><mo>=</mo><mo stretchy="false">(</mo><mn>3</mn><mo>×</mo><mn>3</mn><mo>−</mo><mn>4</mn><mo>×</mo><mn>2</mn><mo stretchy="false">)</mo><mi>i</mi><mo>−</mo><mo stretchy="false">(</mo><mn>2</mn><mo>×</mo><mn>3</mn><mo>−</mo><mn>4</mn><mo>×</mo><mn>1</mn><mo stretchy="false">)</mo><mi>j</mi><mo>+</mo><mo stretchy="false">(</mo><mn>2</mn><mo>×</mo><mn>2</mn><mo>−</mo><mn>3</mn><mo>×</mo><mn>1</mn><mo stretchy="false">)</mo><mi>k</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\vec{A} \times \vec{B} = (3 \times 3 - 4 \times 2)i - (2 \times 3 - 4 \times 1)j + (2 \times 2 - 3 \times 1)k</annotation></semantics></math>

$A$ $\times$ $B$ $=$ $($ $3$ $\times$ $3$ $-$ $4$ $\times$ $2$ $)$ $i$ $-$ $($ $2$ $\times$ $3$ $-$ $4$ $\times$ $1$ $)$ $j$ $+$ $($ $2$ $\times$ $2$ $-$ $3$ $\times$ $1$ $)$ $k$ $=$ $($ $9$ $-$ $8$ $)$ $i$ $-$ $($ $6$ $-$ $4$ $)$ $j$ $+$ $($ $4$ $-$ $3$ $)$ $k$ $=$ $i$ $-$ $2$ $j$ $+$ $k$

বৈশিষ্ট্য:

ক্রস প্রোডাক্টে উৎপন্ন ভেক্টরটি দুটি মূল ভেক্টরের সমতলে লম্ব।
যদি $→A<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mover accent="true"><mi>A</mi><mo>⃗</mo></mover></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\vec{A}</annotation></semantics></math>$ $A$ এবং $→B<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mover accent="true"><mi>B</mi><mo>⃗</mo></mover></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\vec{B}</annotation></semantics></math>$ $B$ পরস্পর সমান্তরাল হয়, তাহলে $→A×→B=0<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mover accent="true"><mi>A</mi><mo>⃗</mo></mover><mo>×</mo><mover accent="true"><mi>B</mi><mo>⃗</mo></mover><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\vec{A} \times \vec{B} = 0</annotation></semantics></math>$ $A$ $\times$ $B$ $=$ $0$ হয়।

Content added By

Sheikh Shakib Bin Shofiq

স্কেলার গুণন

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