আব্দুল্লাহ, ইজহান ও মাহির এর মধ্যে ২,৬০০ টাকা এমনভাবে ভাগ করে দেওয়া হলো যাতে আব্দুল্লাহর অংশের ২ গুণ, ইজহানের অংশের ৩ গুণ এবং মাহিরের অংশের ৪ গুণ পরস্পর সমান হয়। তাদের প্রত্যেকে কে কত টাকা পেল?

ধরি, শিক্ষার্থীর সংখ্যা x জন

∴ চাঁদার পরিমাণ = (x-১) টাকা

প্রশ্নমতে, x(x - ১) = ৪২০

$\Rightarrow x^2-x-৪২০=০$

$\Rightarrow x^2-২১x+২০x-৪২০=০$

$\Rightarrow x(x - ২১) + ২০(x - ২১) = ০$

$\Rightarrow (x - ২১)(x + ২০) = ০$

হয়, x - ২১ = ০

∴ x = ২১

অথবা, x + ২০ = ০

∴ x = ২০ (গ্রহণযোগ্য নয়)

∴ শিক্ষার্থীর সংখ্যা ২১ জন

এবং চাঁদার পরিমাণ= ২১ - ১ = ২০ টাকা।

আয়তক্ষেত্রের পরিধি = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) মিটার

= ২(৪০ + ৩০) = ১৪০ মিটার

∴ বর্গের পরিধি ৪a = ১৪০ মিটার

$\Rightarrow$ a = ৩৫ মিটার

∴ বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য $a\sqrt{২}=৩৫\sqrt{২}$ মিটার

আমরা জানি, আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রে

(অতিভুজ)^২ = (দৈর্ঘ্য)^২ + (প্রস্থ)^২

⇒ (অতিভুজ)^২ = ৪০^২ + ৩০^২

⇒ (অতিভুজ)^২ = ১,৬০০ + ৯০০

⇒ (অতিভুজ)^২ = $\sqrt{২৫০০}$

∴ অতিভুজ = ৫০

আয়তক্ষেত্র ও বর্গক্ষেত্রের কর্ণের অনুপাত

$=৫০ : ৩৫\sqrt{২} =১০ : ৭\sqrt{২}$

ধরি, প্রথম পদ a = ১ [প্রথম কিস্তির পরিমাণ]

∴ সাধারণ অন্তর (d) = ২ [কিস্তির পরিমাণ বৃদ্ধি

আমরা জানি, সমষ্টি $Sn=\frac{n}{২}\left\{২a+(n -১) d\right\}$

$=\frac{n}{২}\left\{২n -২)\right\}$

$=\frac{n}{২}\left\{২+২n -২)\right\}$

$=\frac{n}{২}\times ২n =n^{২}$

মোট কিস্তির সংখ্যা, n^২ = ২,৫০০

∴ n = ৫০

∴ মোট কিস্তির পরিমাণ ৫০টি।

দেওয়া আছে, $a^2+ab+b^2=3$ _____ (i)

এবং $a^4+a^2{b}^2+b^4=3$

$\Rightarrow (a^2{)}^2+2a^2{b}^2+(b^2{)}^2-a^2{b}^2=3$

$\Rightarrow (a^2+b^2{)}^2-(ab{)}^2=3$

$\Rightarrow (a^2+ab+b^2)-(a^2-ab+b^2)=3$

$\Rightarrow 3(a^2-ab+b^2)=3$

$\Rightarrow a^2+ab+b^2=1$ ______ (ii)

এখন (i) এবং (ii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,

$$\begin{gathered} \frac{a^2+ab+b^2=3 \\ {a}^2+ab+b^2=1}{2(a^2+b^2)=4} \end{gathered}$$

$\therefore$ $a^2+b^2=2$