এক ব্যক্তি ২,৫০০ টাকার একটি ঋণ কিছু সংখ্যক কিস্তিতে পরিশোধ করতে রাজি হন। প্রত্যেক কিস্তি পূর্বের কিস্তি অপেক্ষা ২ টাকা বেশি। যদি-প্রথম কিস্তি ১ টাকা হয়, তবে কতগুলো কিস্তিতে ঐ ব্যক্তি তার ঋণ পরিশোধ করতে পারবেন?

ধরি, শিক্ষার্থীর সংখ্যা x জন

∴ চাঁদার পরিমাণ = (x-১) টাকা

প্রশ্নমতে, x(x - ১) = ৪২০

$\Rightarrow x^2-x-৪২০=০$

$\Rightarrow x^2-২১x+২০x-৪২০=০$

$\Rightarrow x(x - ২১) + ২০(x - ২১) = ০$

$\Rightarrow (x - ২১)(x + ২০) = ০$

হয়, x - ২১ = ০

∴ x = ২১

অথবা, x + ২০ = ০

∴ x = ২০ (গ্রহণযোগ্য নয়)

∴ শিক্ষার্থীর সংখ্যা ২১ জন

এবং চাঁদার পরিমাণ= ২১ - ১ = ২০ টাকা।

আয়তক্ষেত্রের পরিধি = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) মিটার

= ২(৪০ + ৩০) = ১৪০ মিটার

∴ বর্গের পরিধি ৪a = ১৪০ মিটার

$\Rightarrow$ a = ৩৫ মিটার

∴ বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য $a\sqrt{২}=৩৫\sqrt{২}$ মিটার

আমরা জানি, আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রে

(অতিভুজ)^২ = (দৈর্ঘ্য)^২ + (প্রস্থ)^২

⇒ (অতিভুজ)^২ = ৪০^২ + ৩০^২

⇒ (অতিভুজ)^২ = ১,৬০০ + ৯০০

⇒ (অতিভুজ)^২ = $\sqrt{২৫০০}$

∴ অতিভুজ = ৫০

আয়তক্ষেত্র ও বর্গক্ষেত্রের কর্ণের অনুপাত

$=৫০ : ৩৫\sqrt{২} =১০ : ৭\sqrt{২}$

দেওয়া আছে, $a^2+ab+b^2=3$ _____ (i)

এবং $a^4+a^2{b}^2+b^4=3$

$\Rightarrow (a^2{)}^2+2a^2{b}^2+(b^2{)}^2-a^2{b}^2=3$

$\Rightarrow (a^2+b^2{)}^2-(ab{)}^2=3$

$\Rightarrow (a^2+ab+b^2)-(a^2-ab+b^2)=3$

$\Rightarrow 3(a^2-ab+b^2)=3$

$\Rightarrow a^2+ab+b^2=1$ ______ (ii)

এখন (i) এবং (ii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,

$$\begin{gathered} \frac{a^2+ab+b^2=3 \\ {a}^2+ab+b^2=1}{2(a^2+b^2)=4} \end{gathered}$$

$\therefore$ $a^2+b^2=2$

ধরি, আব্দুল্লাহ, ইজহান (I) এবং মাহির (M)

প্রশ্নমতে, 2A = 3I = 8M = K

$\Rightarrow A=\frac{K}{2}, I = \frac{K}{3}, M=\frac{K}{8}$

তাদের অনুপাত $\frac{K}{2}\times 12 : \frac{K}{3}\times 12 : \frac{K}{8}\times 12$

= 6K :  8K : 3K

= 6 : 4 : 3

$\therefore$ অনুপাতের যোগফল = 6 + 4 + 3 = 13

$\therefore$ আব্দুল্লাহর পরিমাণ = $2600\times \frac{6}{13}=1,200$ টাকা

$\therefore$ ইজহানের পরিমাণ = $2600\times \frac{4}{13}=800$ টাকা

$\therefore$ মাহিরের পরিমাণ = $2600\times \frac{3}{13}=600$ টাকা

$\therefore$ আব্দুল্লাহর পরিমাণ 1,200 টাকা; ইজহালের পরিমাণ 800 টাকা এবং মাহিরের পরিমাণ 600 টাকা।