উদ্দীপকের আলোকে ${\theta }_1={\theta }_2$ হওয়া সম্ভব কি-না গাণিতিক বিশ্লেষণের মাধ্যমে তোমার মতামত দাও। (উচ্চতর দক্ষতা)

    উদ্দীপকের চিত্র দুটি ভেক্টর যোগ ও বিয়োগের জ্যামিতিক উপস্থাপনা এবং সংশ্লিষ্ট কোণ \(\theta_1\) ও \(\theta_2\) নির্দেশ করে। প্রথম চিত্রে \(\vec{A}\) ও \(\vec{B}\) ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ \(\theta_1\) দেখানো হয়েছে। দ্বিতীয় চিত্রে ভেক্টরদ্বয়ের লব্ধি \((\vec{A} + \vec{B})\) এবং অন্তর \((\vec{A} - \vec{B})\) ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ \(\theta_2\) দেখানো হয়েছে। উদ্দীপকের আলোকে \(\theta_1 = \theta_2\) হওয়া সম্ভব কি-না তা গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ করা হলো।

    ধরা যাক, \(\vec{A}\) এবং \(\vec{B}\) দুটি ভেক্টর যাদের মান যথাক্রমে A ও B। তাদের মধ্যবর্তী কোণ \(\theta_1\)।     সুতরাং, কোণের সংজ্ঞানুসারে,     \[ \cos\theta_1 = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}||\vec{B}|} = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{AB} \]     আবার, \((\vec{A} + \vec{B})\) এবং \((\vec{A} - \vec{B})\) ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ \(\theta_2\)।     \[ \cos\theta_2 = \frac{(\vec{A} + \vec{B}) \cdot (\vec{A} - \vec{B})}{|(\vec{A} + \vec{B})||(\vec{A} - \vec{B})|} \]     এখন, লব ও হরের মান নির্ণয় করি:     লব: \((\vec{A} + \vec{B}) \cdot (\vec{A} - \vec{B}) = \vec{A} \cdot \vec{A} - \vec{A} \cdot \vec{B} + \vec{B} \cdot \vec{A} - \vec{B} \cdot \vec{B}\)     যেহেতু \(\vec{A} \cdot \vec{B} = \vec{B} \cdot \vec{A}\), তাই \((\vec{A} + \vec{B}) \cdot (\vec{A} - \vec{B}) = A^2 - B^2\)।     হর: \(|(\vec{A} + \vec{B})| = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos\theta_1}\)     \(|(\vec{A} - \vec{B})| = \sqrt{A^2 + B^2 - 2AB \cos\theta_1}\)     অতএব, \(|(\vec{A} + \vec{B})||(\vec{A} - \vec{B})| = \sqrt{(A^2 + B^2 + 2AB \cos\theta_1)(A^2 + B^2 - 2AB \cos\theta_1)}\)     \( = \sqrt{(A^2 + B^2)^2 - (2AB \cos\theta_1)^2}\)     \( = \sqrt{A^4 + B^4 + 2A^2B^2 - 4A^2B^2 \cos^2\theta_1}\)     সুতরাং,     \[ \cos\theta_2 = \frac{A^2 - B^2}{\sqrt{A^4 + B^4 + 2A^2B^2 - 4A^2B^2 \cos^2\theta_1}} \]

    \(\theta_1 = \theta_2\) হওয়ার জন্য \(\cos\theta_1 = \cos\theta_2\) হতে হবে।     তাহলে,     \[ \cos\theta_1 = \frac{A^2 - B^2}{\sqrt{A^4 + B^4 + 2A^2B^2 - 4A^2B^2 \cos^2\theta_1}} \]     এই সমীকরণ থেকে স্পষ্ট যে, \(\theta_1 = \theta_2\) হওয়া একটি শর্তাধীন ঘটনা। এটি সবক্ষেত্রে সম্ভব নয়। একটি বিশেষ ক্ষেত্র বিবেচনা করা যাক: যদি ভেক্টরদ্বয়ের মান সমান হয়, অর্থাৎ \(A = B\) হয়।     তাহলে, \(\cos\theta_2 = \frac{A^2 - A^2}{\sqrt{A^4 + A^4 + 2A^4 - 4A^4 \cos^2\theta_1}} = \frac{0}{\sqrt{4A^4 - 4A^4 \cos^2\theta_1}}\)     যদি \(\sin^2\theta_1 \neq 0\) বা \(\theta_1 \neq 0^\circ, 180^\circ\) হয়, তাহলে হর শূন্য হবে না।     এই ক্ষেত্রে, \(\cos\theta_2 = 0\) হয়, যার অর্থ \(\theta_2 = 90^\circ\)।     সুতরাং, যদি \(A = B\) হয়, তবে \(\theta_2 = 90^\circ\)।     এই শর্তে \(\theta_1 = \theta_2\) হওয়ার জন্য অবশ্যই \(\theta_1 = 90^\circ\) হতে হবে।     অর্থাৎ, যদি \(\vec{A}\) ও \(\vec{B}\) ভেক্টরদ্বয়ের মান সমান হয় এবং তারা পরস্পর লম্ব হয় (অর্থাৎ \(\theta_1 = 90^\circ\)), তাহলে তাদের যোগফল ও বিয়োগফল ভেক্টরদ্বয়ও পরস্পর লম্ব হবে (অর্থাৎ \(\theta_2 = 90^\circ\))। এই পরিস্থিতিতে \(\theta_1 = \theta_2 = 90^\circ\) হওয়া সম্ভব।

    উপরিউক্ত গাণিতিক বিশ্লেষণ থেকে বলা যায় যে, উদ্দীপকের আলোকে \(\theta_1 = \theta_2\) হওয়া সম্ভব। তবে এটি কেবল তখনই সম্ভব যখন ভেক্টর \(\vec{A}\) এবং \(\vec{B}\) এর মান সমান হয় এবং তারা পরস্পর লম্বভাবে থাকে। অন্যথায়, সাধারণ ক্ষেত্রে \(\theta_1\) এবং \(\theta_2\) এর মান ভিন্ন হবে।