দুটি সমমানের ভেক্টরের লব্ধি তাদের অন্তর্গত কোণকে সমদ্বিখণ্ডিত করে। ভেক্টর যোগের সামান্তরিক সূত্র (Parallelogram Law of Vector Addition) অনুসারে, যখন দুটি সমমানের ভেক্টরকে একটি সামান্তরিকের দুটি সন্নিহিত বাহু দ্বারা নির্দেশ করা হয়, তখন গঠিত সামান্তরিকটি একটি রম্বস (rhombus) হয়।

আমরা জানি যে, রম্বসের কর্ণগুলো (diagonals) এর কোণগুলোকে সমদ্বিখণ্ডিত করে। যেহেতু লব্ধি ভেক্টরটি (resultant vector) ওই রম্বসের কর্ণ বরাবর ক্রিয়া করে, তাই এটি ভেক্টরদ্বয়ের অন্তর্গত কোণকে সমদ্বিখণ্ডিত করে। অর্থাৎ, যদি \(\vec{A}\) এবং \(\vec{B}\) দুটি সমমানের ভেক্টর হয় এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণ \(\theta\) হয়, তবে তাদের লব্ধি \(\vec{R} = \vec{A} + \vec{B}\) ভেক্টরটি \(\theta\) কোণকে \(\theta/2\) করে দুটি সমান অংশে বিভক্ত করবে।

ভেক্টর অভিক্ষেপ বলতে একটি ভেক্টরের দিক বরাবর অন্য একটি ভেক্টরের উপাংশকে বোঝায়। এটি নির্দেশ করে যে একটি ভেক্টর অন্য ভেক্টরের দিকে কতটুকু প্রভাব বিস্তার করে। গাণিতিকভাবে, যদি দুটি ভেক্টর \(\vec{P}\) এবং \(\vec{Q}\) এর মধ্যবর্তী কোণ \(\theta\) হয়, তবে \(\vec{P}\) ভেক্টর বরাবর \(\vec{Q}\) ভেক্টরের স্কেলার অভিক্ষেপ হবে \(Q \cos\theta\)।

উদ্দীপকের প্রথম চিত্রে প্রদর্শিত ভেক্টর \(\vec{A}\) এবং ভেক্টর \(\vec{B}\) এর মধ্যবর্তী কোণ \(\theta_1\) দ্বারা চিহ্নিত করা হয়েছে। প্রশ্নানুসারে, ভেক্টর \(\vec{B}\) বরাবর ভেক্টর \(\vec{A}\) এর লম্ব অভিক্ষেপ নির্ণয় করতে হবে। অভিক্ষেপের সূত্র প্রয়োগ করে, এই লম্ব অভিক্ষেপ হবে ভেক্টর \(\vec{A}\) এর মান (\(A\)) এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণ \(\theta_1\) এর কোসাইন-এর গুণফল।

অতএব, ভেক্টর \(\vec{B}\) বরাবর ভেক্টর \(\vec{A}\) এর লম্ব অভিক্ষেপ হলো \(A \cos\theta_1\)। এই অভিক্ষেপটি ভেক্টর \(\vec{A}\) এর সেই উপাংশকে নির্দেশ করে যা ভেক্টর \(\vec{B}\) এর সমান্তরাল এবং \(\vec{B}\) এর দিকে ক্রিয়াশীল। এটি পদার্থবিজ্ঞানের বিভিন্ন সমস্যার সমাধানে, যেমন কৃত কাজ নির্ণয় বা কোনো তলের উপর একটি বলের কার্যকর উপাংশ খুঁজে বের করতে ব্যবহৃত হয়। এটি একটি স্কেলার রাশি, যা কেবলমাত্র মান নির্দেশ করে।

    উদ্দীপকের চিত্র দুটি ভেক্টর যোগ ও বিয়োগের জ্যামিতিক উপস্থাপনা এবং সংশ্লিষ্ট কোণ \(\theta_1\) ও \(\theta_2\) নির্দেশ করে। প্রথম চিত্রে \(\vec{A}\) ও \(\vec{B}\) ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ \(\theta_1\) দেখানো হয়েছে। দ্বিতীয় চিত্রে ভেক্টরদ্বয়ের লব্ধি \((\vec{A} + \vec{B})\) এবং অন্তর \((\vec{A} - \vec{B})\) ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ \(\theta_2\) দেখানো হয়েছে। উদ্দীপকের আলোকে \(\theta_1 = \theta_2\) হওয়া সম্ভব কি-না তা গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ করা হলো।

    ধরা যাক, \(\vec{A}\) এবং \(\vec{B}\) দুটি ভেক্টর যাদের মান যথাক্রমে A ও B। তাদের মধ্যবর্তী কোণ \(\theta_1\)।     সুতরাং, কোণের সংজ্ঞানুসারে,     \[ \cos\theta_1 = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}||\vec{B}|} = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{AB} \]     আবার, \((\vec{A} + \vec{B})\) এবং \((\vec{A} - \vec{B})\) ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ \(\theta_2\)।     \[ \cos\theta_2 = \frac{(\vec{A} + \vec{B}) \cdot (\vec{A} - \vec{B})}{|(\vec{A} + \vec{B})||(\vec{A} - \vec{B})|} \]     এখন, লব ও হরের মান নির্ণয় করি:     লব: \((\vec{A} + \vec{B}) \cdot (\vec{A} - \vec{B}) = \vec{A} \cdot \vec{A} - \vec{A} \cdot \vec{B} + \vec{B} \cdot \vec{A} - \vec{B} \cdot \vec{B}\)     যেহেতু \(\vec{A} \cdot \vec{B} = \vec{B} \cdot \vec{A}\), তাই \((\vec{A} + \vec{B}) \cdot (\vec{A} - \vec{B}) = A^2 - B^2\)।     হর: \(|(\vec{A} + \vec{B})| = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos\theta_1}\)     \(|(\vec{A} - \vec{B})| = \sqrt{A^2 + B^2 - 2AB \cos\theta_1}\)     অতএব, \(|(\vec{A} + \vec{B})||(\vec{A} - \vec{B})| = \sqrt{(A^2 + B^2 + 2AB \cos\theta_1)(A^2 + B^2 - 2AB \cos\theta_1)}\)     \( = \sqrt{(A^2 + B^2)^2 - (2AB \cos\theta_1)^2}\)     \( = \sqrt{A^4 + B^4 + 2A^2B^2 - 4A^2B^2 \cos^2\theta_1}\)     সুতরাং,     \[ \cos\theta_2 = \frac{A^2 - B^2}{\sqrt{A^4 + B^4 + 2A^2B^2 - 4A^2B^2 \cos^2\theta_1}} \]

    \(\theta_1 = \theta_2\) হওয়ার জন্য \(\cos\theta_1 = \cos\theta_2\) হতে হবে।     তাহলে,     \[ \cos\theta_1 = \frac{A^2 - B^2}{\sqrt{A^4 + B^4 + 2A^2B^2 - 4A^2B^2 \cos^2\theta_1}} \]     এই সমীকরণ থেকে স্পষ্ট যে, \(\theta_1 = \theta_2\) হওয়া একটি শর্তাধীন ঘটনা। এটি সবক্ষেত্রে সম্ভব নয়। একটি বিশেষ ক্ষেত্র বিবেচনা করা যাক: যদি ভেক্টরদ্বয়ের মান সমান হয়, অর্থাৎ \(A = B\) হয়।     তাহলে, \(\cos\theta_2 = \frac{A^2 - A^2}{\sqrt{A^4 + A^4 + 2A^4 - 4A^4 \cos^2\theta_1}} = \frac{0}{\sqrt{4A^4 - 4A^4 \cos^2\theta_1}}\)     যদি \(\sin^2\theta_1 \neq 0\) বা \(\theta_1 \neq 0^\circ, 180^\circ\) হয়, তাহলে হর শূন্য হবে না।     এই ক্ষেত্রে, \(\cos\theta_2 = 0\) হয়, যার অর্থ \(\theta_2 = 90^\circ\)।     সুতরাং, যদি \(A = B\) হয়, তবে \(\theta_2 = 90^\circ\)।     এই শর্তে \(\theta_1 = \theta_2\) হওয়ার জন্য অবশ্যই \(\theta_1 = 90^\circ\) হতে হবে।     অর্থাৎ, যদি \(\vec{A}\) ও \(\vec{B}\) ভেক্টরদ্বয়ের মান সমান হয় এবং তারা পরস্পর লম্ব হয় (অর্থাৎ \(\theta_1 = 90^\circ\)), তাহলে তাদের যোগফল ও বিয়োগফল ভেক্টরদ্বয়ও পরস্পর লম্ব হবে (অর্থাৎ \(\theta_2 = 90^\circ\))। এই পরিস্থিতিতে \(\theta_1 = \theta_2 = 90^\circ\) হওয়া সম্ভব।

    উপরিউক্ত গাণিতিক বিশ্লেষণ থেকে বলা যায় যে, উদ্দীপকের আলোকে \(\theta_1 = \theta_2\) হওয়া সম্ভব। তবে এটি কেবল তখনই সম্ভব যখন ভেক্টর \(\vec{A}\) এবং \(\vec{B}\) এর মান সমান হয় এবং তারা পরস্পর লম্বভাবে থাকে। অন্যথায়, সাধারণ ক্ষেত্রে \(\theta_1\) এবং \(\theta_2\) এর মান ভিন্ন হবে।