উদ্দীপকের আলোকে ∠POQ এবং ∠OPQ এর মান সমান কি-না? গাণিতিক বিশ্লেষণসহ যাচাই কর। (উচ্চতর দক্ষতা)

উদ্দীপকে প্রদত্ত তথ্য বিশ্লেষণ করে দেখা যায় যে, \(\angle POQ\) এবং \(\angle OPQ\) এর মান সমান নয়। নিচে গাণিতিক বিশ্লেষণের মাধ্যমে তা যাচাই করা হলো:

দেওয়া আছে,
মূলবিন্দু, \(O(0, 0, 0)\)
\(P\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক = \((1, 3, 4)\)
\(Q\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক = \((2, 3, 4)\)

মূলবিন্দুর সাপেক্ষে \(P\) ও \(Q\) এর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে—
\(\vec{OP} = \hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}\)
\(\vec{OQ} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}\)

১. \(\angle POQ\) এর মান নির্ণয়:
\(\vec{OP}\) ও \(\vec{OQ}\) ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ হলো \(\angle POQ\)।
আমরা জানি,
\(\vec{OP} \cdot \vec{OQ} = |\vec{OP}| |\vec{OQ}| \cos(\angle POQ)\)

এখানে,
\(\vec{OP} \cdot \vec{OQ} = (1 \times 2) + (3 \times 3) + (4 \times 4) = 2 + 9 + 16 = 27\)
\(|\vec{OP}| = \sqrt{1^2 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 9 + 16} = \sqrt{26}\)
\(|\vec{OQ}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 9 + 16} = \sqrt{29}\)

অতএব,
\(\cos(\angle POQ) = \frac{\vec{OP} \cdot \vec{OQ}}{|\vec{OP}| |\vec{OQ}|} = \frac{27}{\sqrt{26} \times \sqrt{29}} = \frac{27}{\sqrt{754}} \approx 0.9833\)
\(\therefore \angle POQ = \cos^{-1}(0.9833) \approx 10.49^\circ\)

২. \(\angle OPQ\) এর মান নির্ণয়:
\(\angle OPQ\) হলো \(\vec{PO}\) এবং \(\vec{PQ}\) ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ।
এখানে,
\(\vec{PO} = -\vec{OP} = -\hat{i} - 3\hat{j} - 4\hat{k}\)
\(\vec{PQ} = \vec{OQ} - \vec{OP} = (2-1)\hat{i} + (3-3)\hat{j} + (4-4)\hat{k} = \hat{i}\)

এখন, \(\vec{PO}\) ও \(\vec{PQ}\) এর ডট গুণন—
\(\vec{PO} \cdot \vec{PQ} = (-1 \times 1) + (-3 \times 0) + (-4 \times 0) = -1\)

ভেক্টরদ্বয়ের মান—
\(|\vec{PO}| = \sqrt{(-1)^2 + (-3)^2 + (-4)^2} = \sqrt{26}\)
\(|\vec{PQ}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = 1\)

অতএব,
\(\cos(\angle OPQ) = \frac{\vec{PO} \cdot \vec{PQ}}{|\vec{PO}| |\vec{PQ}|} = \frac{-1}{\sqrt{26} \times 1} \approx -0.1961\)
\(\therefore \angle OPQ = \cos^{-1}(-0.1961) \approx 101.31^\circ\)

মতামত ও সিদ্ধান্ত:
গাণিতিক হিসাব থেকে পাওয়া গেল—
\(\angle POQ \approx 10.49^\circ\)
\(\angle OPQ \approx 101.31^\circ\)

যেহেতু \(\angle POQ \neq \angle OPQ\), তাই বলা যায় উদ্দীপকের আলোকে \(\angle POQ\) এবং \(\angle OPQ\) এর মান সমান নয়।