উপরের চিত্রটি লক্ষ কর।

প্রসঙ্গ কাঠামোর মূল বিন্দুর সাপেক্ষে কোনো বিন্দুর অবস্থান যে ভেক্টরের সাহায্যে নির্দেশ করা হয়, তাকে ব্যাসার্ধ ভেক্টর বা অবস্থান ভেক্টর বলে।

ট্রলি ব্যাগের হাতল লম্বা রাখা হয় কারণ হাতল লম্বা থাকলে ভূমির সাথে গঠিত কোণ বৃদ্ধি পায়, যার ফলে প্রযুক্ত বলের উল্লম্ব উপাংশ বৃদ্ধি পেয়ে ব্যাগের কার্যকর ওজন হ্রাস পায় এবং সেটি টানা সহজ হয়।

কোনো ট্রলি ব্যাগ টানার সময় প্রযুক্ত বল \(F\) অনুভূমিকের সাথে \(\theta\) কোণে ক্রিয়া করলে এর দুটি উপাংশ পাওয়া যায়। অনুভূমিক উপাংশ \(F \cos\theta\) ব্যাগটিকে সামনের দিকে গতিশীল করে এবং খাড়া ঊর্ধ্বমুখী উপাংশ \(F \sin\theta\) ব্যাগের ওজনের বিপরীতে কাজ করে। ফলে ব্যাগের কার্যকর ওজন হয় \(W' = W - F \sin\theta\)। ট্রলি ব্যাগের হাতল লম্বা হলে ভূমির সাথে হাতলের গঠিত কোণ \(\theta\)-এর মান বৃদ্ধি পায়। \(\theta\)-এর মান বাড়লে \(\sin\theta\)-এর মান বাড়ে, ফলে ঊর্ধ্বমুখী উপাংশ \(F \sin\theta\) বৃদ্ধি পেয়ে ব্যাগের কার্যকর ওজন অনেক কমে যায় এবং ব্যাগটি সহজে টেনে নেওয়া যায়।

উদ্দীপক অনুসারে,

\(P\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \(= (1, 3, 4)\)
\(Q\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \(= (2, 3, 4)\)

মূলবিন্দু \(O(0, 0, 0)\)-এর সাপেক্ষে \(P\) ও \(Q\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে:
\(\vec{OP} = 1\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k} = \hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}\)
\(\vec{OQ} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}\)

সুতরাং, \(\vec{PQ}\) ভেক্টরটি হবে:
\(\vec{PQ} = \vec{OQ} - \vec{OP}\)
\(\Rightarrow \vec{PQ} = (2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}) - (\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k})\)
\(\Rightarrow \vec{PQ} = (2-1)\hat{i} + (3-3)\hat{j} + (4-4)\hat{k}\)
\(\Rightarrow \vec{PQ} = \hat{i}\)

\(\vec{PQ}\) ভেক্টরের মান:
\(|\vec{PQ}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = 1\)

অতএব, \(\vec{PQ}\)-এর সমান্তরাল একক ভেক্টর:
\(\hat{\eta} = \pm \frac{\vec{PQ}}{|\vec{PQ}|}\)
\(\Rightarrow \hat{\eta} = \pm \frac{\hat{i}}{1}\)
\(\Rightarrow \hat{\eta} = \pm \hat{i}\)

উত্তর: \(\vec{PQ}\) -এর সমান্তরাল একক ভেক্টর হলো \(\pm \hat{i}\) (বা \(\hat{i}\))।

উদ্দীপকে প্রদত্ত তথ্য বিশ্লেষণ করে দেখা যায় যে, \(\angle POQ\) এবং \(\angle OPQ\) এর মান সমান নয়। নিচে গাণিতিক বিশ্লেষণের মাধ্যমে তা যাচাই করা হলো:

দেওয়া আছে,
মূলবিন্দু, \(O(0, 0, 0)\)
\(P\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক = \((1, 3, 4)\)
\(Q\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক = \((2, 3, 4)\)

মূলবিন্দুর সাপেক্ষে \(P\) ও \(Q\) এর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে—
\(\vec{OP} = \hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}\)
\(\vec{OQ} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}\)

১. \(\angle POQ\) এর মান নির্ণয়:
\(\vec{OP}\) ও \(\vec{OQ}\) ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ হলো \(\angle POQ\)।
আমরা জানি,
\(\vec{OP} \cdot \vec{OQ} = |\vec{OP}| |\vec{OQ}| \cos(\angle POQ)\)

এখানে,
\(\vec{OP} \cdot \vec{OQ} = (1 \times 2) + (3 \times 3) + (4 \times 4) = 2 + 9 + 16 = 27\)
\(|\vec{OP}| = \sqrt{1^2 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 9 + 16} = \sqrt{26}\)
\(|\vec{OQ}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 9 + 16} = \sqrt{29}\)

অতএব,
\(\cos(\angle POQ) = \frac{\vec{OP} \cdot \vec{OQ}}{|\vec{OP}| |\vec{OQ}|} = \frac{27}{\sqrt{26} \times \sqrt{29}} = \frac{27}{\sqrt{754}} \approx 0.9833\)
\(\therefore \angle POQ = \cos^{-1}(0.9833) \approx 10.49^\circ\)

২. \(\angle OPQ\) এর মান নির্ণয়:
\(\angle OPQ\) হলো \(\vec{PO}\) এবং \(\vec{PQ}\) ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ।
এখানে,
\(\vec{PO} = -\vec{OP} = -\hat{i} - 3\hat{j} - 4\hat{k}\)
\(\vec{PQ} = \vec{OQ} - \vec{OP} = (2-1)\hat{i} + (3-3)\hat{j} + (4-4)\hat{k} = \hat{i}\)

এখন, \(\vec{PO}\) ও \(\vec{PQ}\) এর ডট গুণন—
\(\vec{PO} \cdot \vec{PQ} = (-1 \times 1) + (-3 \times 0) + (-4 \times 0) = -1\)

ভেক্টরদ্বয়ের মান—
\(|\vec{PO}| = \sqrt{(-1)^2 + (-3)^2 + (-4)^2} = \sqrt{26}\)
\(|\vec{PQ}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = 1\)

অতএব,
\(\cos(\angle OPQ) = \frac{\vec{PO} \cdot \vec{PQ}}{|\vec{PO}| |\vec{PQ}|} = \frac{-1}{\sqrt{26} \times 1} \approx -0.1961\)
\(\therefore \angle OPQ = \cos^{-1}(-0.1961) \approx 101.31^\circ\)

মতামত ও সিদ্ধান্ত:
গাণিতিক হিসাব থেকে পাওয়া গেল—
\(\angle POQ \approx 10.49^\circ\)
\(\angle OPQ \approx 101.31^\circ\)

যেহেতু \(\angle POQ \neq \angle OPQ\), তাই বলা যায় উদ্দীপকের আলোকে \(\angle POQ\) এবং \(\angle OPQ\) এর মান সমান নয়।