উদ্দীপকের বস্তুটির ঘনত্ব নির্ণয় কর।

উত্তরঃ

আর্কিমিডিসের সূত্র বস্তুর প্লবতা সম্পর্কিত একটি মৌলিক নীতি। এই সূত্র অনুসারে, কোনো বস্তুকে স্থির তরল বা গ্যাসে আংশিক বা সম্পূর্ণরূপে নিমজ্জিত করলে বস্তুটি যে ঊর্ধ্বমুখী প্লবতা বল অনুভব করে, তা বস্তু দ্বারা অপসারিত তরল বা গ্যাসের ওজনের সমান। এই উদ্দীপকে প্রদত্ত তথ্যের মাধ্যমে গাণিতিকভাবে আর্কিমিডিসের সূত্রটি সমর্থন করে কিনা, তা বিশ্লেষণ করা হলো।

উদ্দীপকে প্রদত্ত তথ্যগুলো হলো:

    
• বস্তুর আয়তন, \(V = 400 \text{ cm}^3 = 400 \times 10^{-6} \text{ m}^3\)
    
• বাতাসে বস্তুর ওজন, \(W_{\text{বাতাস}} = 19.6 \text{ N}\)
    
• পানিতে নিমজ্জিত অবস্থায় বস্তুর ওজন, \(W_{\text{পানি}} = 15.68 \text{ N}\)
    
• অভিকর্ষজ ত্বরণ, \(g = 9.8 \text{ ms}^{-2}\)
    
• পানির ঘনত্ব, \(\rho_{\text{পানি}} = 1000 \text{ kgm}^{-3}\) (প্রমিত মান)

আর্কিমিডিসের সূত্রকে সমর্থন করে কিনা, তা যাচাই করার জন্য আমরা দুটি উপায়ে প্লবতা বল নির্ণয় করব।

প্রথমে, বস্তুর বাতাসে ওজন এবং পানিতে ওজন থেকে প্লবতা বল নির্ণয় করি:

\[ F_{\text{প্লবতা}} = W_{\text{বাতাস}} - W_{\text{পানি}} \] \[ F_{\text{প্লবতা}} = 19.6 \text{ N} - 15.68 \text{ N} \] \[ F_{\text{প্লবতা}} = 3.92 \text{ N} \]

দ্বিতীয়ত, বস্তুর দ্বারা অপসারিত পানির ওজন থেকে প্লবতা বল নির্ণয় করি। যেহেতু বস্তুটি পানিতে সম্পূর্ণরূপে নিমজ্জিত করা হয়েছে, তাই অপসারিত পানির আয়তন বস্তুর আয়তনের সমান হবে।

\[ F_{\text{প্লবতা}} = V_{\text{অপসারিত}} \times \rho_{\text{পানি}} \times g \]

যেখানে, \(V_{\text{অপসারিত}} = V = 400 \times 10^{-6} \text{ m}^3\)

\[ F_{\text{প্লবতা}} = (400 \times 10^{-6} \text{ m}^3) \times (1000 \text{ kgm}^{-3}) \times (9.8 \text{ ms}^{-2}) \] \[ F_{\text{প্লবতা}} = 0.4 \times 9.8 \text{ N} \] \[ F_{\text{প্লবতা}} = 3.92 \text{ N} \]

উপরিউক্ত গাণিতিক বিশ্লেষণ থেকে দেখা যায় যে, বস্তুর বাতাসে ওজন এবং পানিতে ওজনের পার্থক্য থেকে প্রাপ্ত প্লবতা বল (\(3.92 \text{ N}\)) এবং বস্তুর দ্বারা অপসারিত পানির ওজন থেকে প্রাপ্ত প্লবতা বল (\(3.92 \text{ N}\)) উভয়ই সমান। আর্কিমিডিসের সূত্রানুযায়ী, এই দুটি মান সমান হওয়া উচিত। যেহেতু উভয় মান মিলে গেছে, তাই উদ্দীপকটি আর্কিমিডিসের সূত্রকে সম্পূর্ণরূপে সমর্থন করে।