উদ্দীপকের স্প্রিং দুটিকে শ্রেণি সমবায়ের পরিবর্তে সমান্তরাল সমবায়ে যুক্ত করলে উভয় সমবায়ের মিলিত স্পন্দনের কম্পাঙ্ক এক না ভিন্ন হবে—গাণিতিকভাবে যাচাই কর

উদ্দীপকের তথ্যানুসারে,

প্রথম স্প্রিং ধ্রুবক, \(k_1 = 6 \text{ Nm}^{-1}\)

দ্বিতীয় স্প্রিং ধ্রুবক, \(k_2 = 3 \text{ Nm}^{-1}\)

প্রয়োগকৃত বল, \(F = 0.6 \text{ N}\)

অভিকর্ষীয় ত্বরণ, \(g = 9.8 \text{ ms}^{-2}\)

প্রথমে, প্রয়োগকৃত বল থেকে কম্পনশীল বস্তুর ভর \(m\) নির্ণয় করি:

আমরা জানি, \(F = mg\)

অতএব, \(m = \frac{F}{g} = \frac{0.6}{9.8} \text{ kg}\)

\(m \approx 0.06122 \text{ kg}\)

১. শ্রেণি সমবায়ের ক্ষেত্রে (Series Combination):

শ্রেণি সমবায়ের তুল্য স্প্রিং ধ্রুবক \(k_s\) হলে:

\(\frac{1}{k_s} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2}\)

\(\frac{1}{k_s} = \frac{1}{6} + \frac{1}{3}\)

\(\frac{1}{k_s} = \frac{1+2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)

\(k_s = 2 \text{ Nm}^{-1}\)

শ্রেণি সমবায়ের কম্পাঙ্ক \(f_s\) হলে:

\(f_s = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k_s}{m}}\)

\(f_s = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{2}{0.06122}}\)

\(f_s \approx \frac{1}{2\pi} \sqrt{32.668}\)

\(f_s \approx \frac{1}{2\pi} \times 5.7156\)

\(f_s \approx 0.9097 \text{ Hz}\)

২. সমান্তরাল সমবায়ের ক্ষেত্রে (Parallel Combination):

সমান্তরাল সমবায়ের তুল্য স্প্রিং ধ্রুবক \(k_p\) হলে:

\(k_p = k_1 + k_2\)

\(k_p = 6 + 3\)

\(k_p = 9 \text{ Nm}^{-1}\)

সমান্তরাল সমবায়ের কম্পাঙ্ক \(f_p\) হলে:

\(f_p = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k_p}{m}}\)

\(f_p = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{9}{0.06122}}\)

\(f_p \approx \frac{1}{2\pi} \sqrt{146.994}\)

\(f_p \approx \frac{1}{2\pi} \times 12.124\)

\(f_p \approx 1.9298 \text{ Hz}\)

৩. কম্পাঙ্কের তুলনা:

শ্রেণি সমবায়ের কম্পাঙ্ক, \(f_s \approx 0.9097 \text{ Hz}\)

সমান্তরাল সমবায়ের কম্পাঙ্ক, \(f_p \approx 1.9298 \text{ Hz}\)

দেখা যাচ্ছে যে, \(f_s \neq f_p\)। অর্থাৎ, উভয় সমবায়ের মিলিত স্পন্দনের কম্পাঙ্ক এক হবে না, ভিন্ন হবে।